CVaR en Expected Shortfall: staartmassa, grensweging en portefeuilles

Value at Risk is een kwantiel van een benoemde verliesverdeling. Expected Shortfall, hier ook CVaR genoemd, is het gemiddelde van de slechtste gekozen kansmassa. Geen van beide garandeert wat de volgende maand gebeurt. Bij discrete gegevens moet je grenswaarnemingen gedeeltelijk kunnen meetellen; alleen filteren op groter dan VaR is niet altijd dezelfde berekening.

VaR is een grens, ES een staartgemiddelde

Gebruik L=−rendement: positief is verlies, negatief winst. VaR 95 is hier de kleinste verlieswaarde waarbij de cumulatieve modelkans minstens 95% is. Bij een continue verdeling zonder massa op de grens resteert 5% boven die grens. Bij discrete scenario’s kan een grenswaarde zelf positieve kans hebben. Historische frequentie bewijst geen toekomstige kans, en twaalf gelijkgewogen maanden kunnen niet precies 95% waarnemingen onder een grens hebben.

ES 95 middelt de slechtste 5% kansmassa. Bevat de grens meer massa dan nog nodig is, dan neem je alleen de benodigde fractie mee. Een gemiddelde van uitsluitend strikt grotere verliezen kan daardoor een andere uitkomst hebben. Twee verdelingen met dezelfde VaR kunnen verschillende ES hebben: de ernst én het gewicht van alle geselecteerde staartverliezen tellen mee, niet alleen de slechtste waarneming.

Basel: bankkapitaal is een andere toepassing

De markt-risicostandaard van het Basel Committee uit januari 2019 herziet het kader uit 2016 en behoudt Expected Shortfall in de interne-modellenbenadering. MAR 33 noemt een eenzijdig 97,5%-niveau, een basisliquiditeitshorizon van tien dagen, aanpassingen voor langere liquiditeitshorizonnen en stresskalibratie. VaR verdwijnt niet uit alle regels; zij blijft onder meer relevant voor bepaalde terugtoetsings- en default-risicovereisten.

Dit betreft kapitaalvereisten voor banken. Het historische document bepaalt geen retailverlieslimiet of actuele nationale invoeringsdatum in ieder land. Bereken dus niet vanuit 97,5% of tien dagen automatisch een geschikte omvang voor je eigen rekening. De publicatiedatum van een internationale standaard is niet hetzelfde als toepasselijkheid van iedere Nederlandse bepaling.

Tel eerst verliezen binnen dezelfde scenario’s op

Het oorspronkelijke PLN-experiment heeft vier gezamenlijke scenario’s van ieder 25%. Positie A verliest 0,0,10,10 PLN. In model 1 verliest B 10,10,0,0 PLN: de som is steeds 10 PLN. In model 2 verliest B 0,0,10,10 PLN: de som is 0,0,20,20 PLN. ES 50 middelt de slechtste helft, twee scenario’s. De portefeuille-ES is daardoor 10 of 20 PLN, terwijl iedere individuele ES in beide modellen 10 is en hun afzonderlijke som 20.

Bij gelijke verliesverdeling, horizon en betrouwbaarheidsniveau is ES subadditief: ES(A+B)≤ES(A)+ES(B). Dat is een eigenschap van de maat, geen werkelijk verliesplafond. VaR is niet algemeen subadditief. De twee tabellen zijn alternatieve afhankelijkheidsmodellen, geen opeenvolgende tijdreeksen of bewijs dat echte instrumenten hun samenhang behouden. 50% maakt het mechanisme leesbaar en is geen regelgevende instelling of advies.

Een kleine maandsteekproef correct benoemen

De twaalf fictieve netto-maandrendementen zijn+4,+3,+6,+2,+5,+1,+7,−2,−3,−9,−14 en−6%. Elke maand krijgt gelijk gewicht; L keert het teken om. De slechtste twee verliezen zijn 14% en 9%. Hun gemiddelde is 11,5%, maar hun kansmassa is 2/12=16⅔%. Deze ES hoort bij α=10/12=83⅓%, niet bij 95%. Op een afzonderlijk vaste 50.000 USD-scenariobasis is 11,5%=5.750 USD. De werkelijke geldverliezen van opeenvolgende maanden vragen hun eigen veranderende kapitaalbasis.

Voor ES 95 is de gewenste staart 5%, terwijl één van de twaalf waarnemingen 8⅓% weegt. Je neemt daarom slechts 5% massa uit de slechtste 14%-waarneming; deze empirische ES 95 is 14%. Dat is rekenkundig gedefinieerd, maar berust helemaal op één extreem. Veertig gelijkgewogen waarnemingen geven precies twee volledige waarnemingen in een 5%-staart; dat aantal bewijst geen schattingsbetrouwbaarheid.

Bij dertig gelijkgewogen maanden is de 5%-staart anderhalve waarneming: weeg het slechtste verlies met 1 en het tweede met 0,5 en deel door 1,5. Er is geen universele grens van zestig observaties die stabiliteit garandeert. Maandrendementen kunnen intramaandelijkse verliezen verbergen die vóór maandultimo herstelden. Bekijk daarom ook fijnmazige equity en drawdown.

Nieuw EUR-tegenvoorbeeld met grensmassa

Neem drie fictieve scenario’s: 94% kans op 0 EUR verlies,4% op 100 EUR en 2% op 1.000 EUR. Cumulatief is bij 0 slechts 94% bereikt, en bij 100 al 98%; VaR 95 is dus 100 EUR. De slechtste 5% bestaat uit alle 2% massa van 1.000 en nog 3% van 100. ES 95=(0,02 × 1.000+0,03 × 100)/0,05=460 EUR. Alleen strikt boven VaR filteren zou 1.000 EUR geven en de benodigde grensmassa overslaan.

Verander uitsluitend het zwaarste scenario van 1.000 naar 500 EUR: VaR 95 blijft 100 EUR, maar ES 95 wordt 260 EUR. De maat onderscheidt de grotere staartschade ondanks dezelfde grens. Dit zijn gekozen modelkansen, geen gemeten incidentfrequenties of Nederlandse wettelijke bedragen. De toekomstige markt kan bovendien een scenario kennen dat in geen van beide tabellen staat.

Een budget per transactie en een portefeuille-ES beantwoorden andere vragen. Het eerste beschrijft een gepland geldverlies; het tweede middelt horizonverliezen binnen een verdeling. Horizon hoeft niet maandelijks te zijn. Geen van beide begrenst automatisch kosten, gaten of uitvoeringsverliezen. Uit een historische 11,5%-staart alleen kun je geen dollarshock, oorzaak of noodzakelijke hefboomverlaging afleiden.

Fouten bij de interpretatie

• Verwar 95% betrouwbaarheidsniveau niet met 95% toekomstige perioden waarin een bepaald verlies zou optreden. De ongunstigste 5% modelmassa en haar grensweging zijn de relevante invoer.
• Schaal dagelijkse empirische CVaR niet automatisch met de wortel van het aantal dagen. Stabiele variantie, tijdsafhankelijkheid en verdelingsvorm vereisen expliciete aannames; onafhankelijke normale incrementen zijn één model, geen algemeen marktfeit.
• Gebruik ES niet als gegarandeerd maximum. Een toekomstig verlies kan het geschatte gemiddelde overschrijden of uit een ontbrekend scenario komen.
• Voeg Sharpe-ratio: bereken de juiste verschilreeks en Sortino-ratio: doeltekorten correct berekenen alleen met expliciete definities toe. Zij beschrijven andere aspecten; meer scores maken een strategie niet vanzelf betrouwbaar.

Een reproduceerbaar risicoblad

1. Noteer horizon, venster, tekenconventie, eenheid, gewichten en kwantielmethode. Benoem een slechtste-tweegemiddelde uit twaalf als 2/12-staart.
2. Tel posities eerst per gemeenschappelijk scenario op en selecteer daarna de portefeuillestaart. Een correlatiecijfer bepaalt niet de hele staartafhankelijkheid.
3. Houd ES apart van Maximale drawdown: welke rekeningcurve meet je?:drawdown gebruikt een pad met voortschrijdende pieken, ES een verdeling van horizonverliezen.
4. Onderzoek veranderingen in de hele steekproef. Een hogere positieve verlies-ES kan samenhangen met nieuwe observaties, blootstelling, volatiliteit of steekproefruis; niet slechts één vooraf gekozen oorzaak.

Monte Carlo voor strategieën: bootstrap, stopgrenzen en drawdown kan onder benoemde aannames extra gesimuleerde paden genereren, maar geen nieuwe onafhankelijke waarnemingen van onbekende schokken. Nederlandstaligheid bepaalt geen woonland; het PLN-model, de USD-referentie en het nieuwe EUR-model blijven afzonderlijk.