La VaR est un quantile d’une distribution de pertes précisée, pas une garantie sur le prochain mois. La CVaR, appelée Expected Shortfall ou ES ici, moyenne la pire masse de probabilité choisie. Quand les observations sont discrètes, il faut parfois prendre une fraction de la masse située au seuil. Ne remplacez pas cette définition par une moyenne de quelques valeurs choisies après coup.

Seuil et moyenne de queue répondent à deux questions

On définit L=−rendement : positif signifie perte, négatif gain. La VaR 95 est la plus petite valeur de perte dont la probabilité cumulée atteint au moins 95 %. Dans un modèle continu sans masse au seuil, la queue supérieure vaut 5 %. Dans un échantillon discret, une frontière peut porter une probabilité non nulle. Une fréquence historique n’est pas une probabilité future vérifiée ; douze observations équipondérées ne permettent pas exactement 95 % d’observations sous un seuil.

Pour l’ES95, retenez les pires 5 % de masse, avec fraction appropriée de la frontière. Filtrer seulement les observations strictement supérieures à la VaR peut produire un autre nombre, voire un ensemble vide. Deux distributions partageant le même quantile peuvent avoir des queues moyennes différentes. La perte unique la plus forte ne détermine pas toujours cette moyenne : il faut toutes les valeurs et leurs poids.

Le cadre bancaire est une référence de méthode, pas votre budget

Le standard de marché du Comité de Bâle de janvier 2019 révise celui de 2016 et maintient un dispositif de modèles internes utilisant l’ES. MAR 33 décrit un seuil unilatéral 97,5 %, une base d’horizon de liquidité dix jours, ajustements et calibration stressée. La VaR subsiste notamment dans d’autres tests et exigences. Ce document bancaire historique n’établit ni calendrier national actuel de chaque pays ni plafond du compte d’un particulier.

À distribution commune, horizon et niveau identiques, l’ES est sous-additif : ES(A+B)≤ES(A)+ES(B). Ce n’est pas une borne de toute perte réelle. La VaR n’est pas généralement sous-additive. Il faut surtout distinguer somme de mesures séparées et mesure de pertes effectivement conjointes.

Additionner dans le même scénario avant de prendre la queue

Modèle en PLN, quatre scénarios communs de 25 % chacun. A perd 0,0,10,10. Dans le modèle D, B perd 10,10,0,0 : chaque somme vaut 10. Dans le modèle S, B perd 0,0,10,10 : sommes 0,0,20,20. Les distributions individuelles sont identiques dans les deux modèles et chaque ES50 individuel vaut 10 ; leur somme vaut 20.

L’ES du portefeuille dépend des pertes conjointes

L’ES du portefeuille dépend des pertes conjointesQuatre scénarios 25 %. Modèle D, sommes 10,10,10,10, ES50=10 PLN. Modèle S, sommes 0,0,20,20, ES50=20 PLN. ES séparés 10+10 dans les deux modèles.Chaque scénario commun : 25 %D : 10 / 10 / 10 / 10 → ES50 = 10S : 0 / 0 / 20 / 20 → ES50 = 20ES séparés : 10 + 10 = 20 dans les deuxDépendance différente, mêmes margesPertes PLN fictives ; 50 % sert à montrer le mécanisme
L’ES50 moyenne les deux plus grandes valeurs, égalités incluses. Aucune dépendance réelle stable ni seuil réglementaire 50 % n’est affirmé.

Faites défiler horizontalement ou agrandissez le schéma pour lire les détails.

Dans D, la pire moitié vaut(10+10)/2=10 PLN ; dans S,(20+20)/2=20. Des pertes disjointes ne signifient pas perte nulle. Ces modèles sont deux structures de dépendance, pas deux séries successives dans le temps. L’addition des ES individuels ne suffit pas à reconstituer celle du portefeuille.

Ajout EUR indépendant : quatre pertes communes du portefeuille 0,20,40,80 EUR à poids égaux. Pour ES75, la pire masse 25 % est entièrement 80 EUR. Pour ES62,5, la pire masse 37,5 % prend 80 avec poids 25 % et 40 avec poids 12,5 %, soit 66,67 EUR. La sélection de « deux pires » donnerait 60 mais correspondrait à ES50. Les niveaux choisis sont pédagogiques, pas des budgets recommandés.

Douze mois fictifs : pourquoi 11,5 % n’est pas ES95

Les rendements mensuels positifs sont+4,+3,+6,+2,+5,+1,+7 % ; les négatifs−2,−3,−9,−14,−6 %. Traitez-les comme douze scénarios de même poids, avec unité pourcentage mensuel. Les deux plus grosses pertes positives 14 et 9 ont moyenne 11,5 %, mais masse 2/12=16⅔ %, donc niveauα=10/12=83⅓ %.

Appliquer 11,5 % à une base fixe supposée de 50 000 USD donne 5 750 USD. Cette base n’est pas celle de chaque mois réel ; les montants de pertes observées demanderaient leurs capitaux propres. À 95 %, la queue demandée 5 % est plus petite qu’une seule observation de 8⅓ %. On prend 5 % de la masse de la pire perte 14 % : ES95 empirique=14 %. C’est défini, mais dépend entièrement d’un extrême observé.

Quarante observations égales donnent exactement deux valeurs dans une queue 5 %, sans certifier fiabilité. Avec trente, la masse vaut 1,5 observations : poids 1 pour la pire et 0,5 pour la suivante, puis division par 1,5. Aucun minimum universel de 60 ne garantit stabilité. Les résultats mensuels peuvent intégrer un gap resté dans l’equity finale tout en cachant un creux récupéré avant fin de mois.

Budget par trade et risque de queue du portefeuille

Une fraction choisie par opération exprime une perte de prix modélisée. L’ES décrit une distribution sur un horizon choisi, pas nécessairement mensuel. Ni 1 % ni l’ES ne plafonne l’exécution. Un ES mensuel 11,5 % ne permet pas d’identifier seul une perte en cas de choc du dollar ou sa cause. Définissez positions, scénarios communs, coûts et dépendance avant de calculer la queue ; une corrélation seule ne détermine pas leurs amplitudes.

Quatre confusions à éviter

  • ES95 ne signifie pas qu’une perte donnée survient dans 95 % des périodes futures.
  • Une multiplication mécanique par racine du temps suppose des propriétés de dépendance et de distribution ; des incréments normaux indépendants forment un modèle particulier, pas une licence de convertir toute CVaR empirique.
  • Une perte future individuelle peut dépasser la moyenne de queue ; un scénario absent peut survenir.
  • Sharpe et Sortino donnent un contexte de rendement et dispersion, sans diagnostiquer seuls la qualité d’une stratégie.

Préparer un calcul vérifiable

  1. Fixez horizon, signe, fenêtre, quantile et masse exacte. Si vous moyennez deux mois surdouze, écrivez 2/12.
  2. Séparez ES etdrawdown maximal : moyenne de pertes d’horizon contre chemin depuis sommet.
  3. Alignez les scénarios des positions, additionnez, puis sélectionnez la queue du total.
  4. Conservez la convention de signe : une queue de rendements devient plus négative, une mesure de pertes positives augmente.
  5. Une simulation rééchantillonne une distribution supposée ; elle ne crée pas de nouvelles preuves indépendantes de chocs jamais observés.

Décrire ensuite les expositions monétaires partagées aide à construire des scénarios, sans prendre un score de force pour une taille de perte.