CVaR a Expected Shortfall: průměr správného krajního podílu

VaR označuje kvantil zadaného rozdělení ztrát. CVaR, zde nazývaný také Expected Shortfall neboli ES, průměruje nejhorší určenou pravděpodobnostní hmotu se správným zacházením s diskrétní hranicí. Výpočet z historie nepředpovídá s jistotou příští měsíc a bankovní kapitálové pravidlo není povinným limitem retailového účtu. Nejdříve stanovíme znaménko, horizont, rozdělení a teprve pak vybíráme krajní výsledky.

VaR a CVaR odpovídají na jiné otázky

Použijme ztrátu L=−výnos. Kladné L znamená ztrátu, záporné zisk. VaR95 je nejmenší hodnota ztráty, na níž kumulativní pravděpodobnost modelu dosáhne alespoň 95 %. U spojitého rozdělení bez hmoty na této hranici leží nejhorších 5 % za kvantilem. V diskrétním souboru může mít samotná hranice kladnou váhu.

Proto zde ES95 není vždy prostý průměr pozorování přísně větších než VaR. Je potřeba naplnit přesně 5% krajní hmotu a případně vzít jen část hraniční váhy. Stejný VaR může doprovázet jiný průměr závažných ztrát. Ani jediná nejhorší hodnota sama nepopíše tento průměr, pokud neznáme další krajní hodnoty a váhy. Historický kvantil není ověřenou pravděpodobností budoucnosti.

Bankovní kontext oddělte od vlastního účtu

Standard Basilejského výboru z ledna 2019 upravuje rámec 2016 a zachovává ES v přístupu interních modelů bankovního tržního rizika. Jeho MAR33 stanoví jednostrannou hladinu 97,5 %, základní horizont likvidity deset dní s regulatorními úpravami a stresovou kalibraci. VaR zůstává v jiných požadavcích včetně rizika selhání a backtestingu. Tento historický dokument neurčuje dnešní datum zavedení ve všech jurisdikcích ani procento pro českého retailového obchodníka.

Při společném rozdělení ztrát, stejném horizontu a hladině je ES subaditivní: ES(A+B)≤ES(A)+ES(B). Jde o vlastnost míry, ne strop realizované portfoliové ztráty. VaR obecně tuto vlastnost nemá. Při porovnání nemůžete měnit hladinu nebo scénáře a pak nerovnost vydávat za důkaz diverzifikace konkrétních trhů.

Nejdříve sčítejte stejné scénáře

Původní dvě alternativy mají čtyři společné scénáře, každý s váhou 25 %. A v obou ztrácí 0, 0, 10, 10 PLN. V první variantě B ztrácí 10, 10, 0, 0 a součty jsou vždy 10 PLN. V druhé B ztrácí 0, 0, 10, 10 a součty jsou 0, 0, 20, 20. ES50 bere nejhorší polovinu, tedy dva stejně vážené scénáře: první portfolio má ES 10 a druhé 20 PLN. Každá jednotlivá pozice má přitom v obou modelech ES50 10.

Součet samostatných ES je 20 PLN, ale ne vždy portfolio ES. Nesoučasné ztráty v první variantě neznamenají nulovou celkovou ztrátu: vždy ztrácí jedna pozice deset. Jde o alternativní modely závislosti, nikoli časovou řadu čtyř po sobě jdoucích obchodů. Hladina 50 % pouze zviditelňuje mechanismus, není doporučený nebo regulatorní parametr.

Dvanáct měsíčních výsledků

Původní hypotetické měsíční výnosy jsou +4, +3, +6, +2, +5, +1 a +7 % a dále −2, −3, −9, −14 a −6 %. Bereme je jako dvanáct stejně vážených scénářů, ne jako jisté budoucí měsíce. Jednotkou zůstává procentní měsíční výnos. Úvodních 50 000 USD je jen volitelná pevná báze pro převod scénáře na peníze, ne automaticky skutečný kapitál všech historických měsíců.

Dvě nejhorší kladné ztráty 14 a 9 % dávají průměr 11,5 %. Kraj má váhu 2/12, tedy 16⅔ %, a odpovídá zde hladině α=10/12 neboli 83⅓ %. Na pevné scénářové bázi 50 000 USD jde o 5750 USD. Skutečné měsíční peněžní výsledky však potřebují vlastní tehdejší kapitálové základny.

Pro ES95 je požadovaný kraj 5 %, zatímco jeden z dvanácti bodů má váhu 8⅓ %. Stačí vzít 5% část hmoty nejhorší 14% ztráty; empirický ES95 této sady je proto 14 %, nikoli 11,5 %. Výpočet je definovaný, ale stojí pouze na jediném extrému. Čtyřicet stejně vážených pozorování dává v 5% kraji přesně dva body, což samo ještě nezajišťuje spolehlivost odhadu.

Také třicet měsíců dovolí výpočet, ale 5 % znamená jen 1,5 pozorování: nejhorší ztrátu s vahou jedna a druhou nejhorší s vahou půl, dělené 1,5. Neexistuje zde univerzální hranice šedesáti bodů zaručující přesnost. Měsíční konce obsahují čistý vliv intraměsíčních událostí na konečnou equity, mohou však skrýt ztráty napravené ještě před koncem měsíce.

Nový CZK model: část hraničního scénáře

Nová fiktivní jednodenní ztrátová distribuce má 0 CZK s modelovou váhou 90 %, 1000 CZK s vahou 8 % a 5000 CZK s vahou 2 %. Váhy jsou výslovně zvolené, nikoli zjištěné četnosti trhu. Kumulativně je na nule 90 % a na 1000 CZK 98 %, takže VaR95 podle naší kvantilové konvence činí 1000 CZK.

Nejhorších 5 % obsahuje celé 2 % ztráty 5000 a jen 3 % z osmi procent ztráty 1000. ES95 je (0,02×5000+0,03×1000)/0,05=2600 CZK. Průměrovat pouze ztráty přísně nad VaR by dalo 5000 CZK a použilo jen 2% kraj. Průměrovat všechny ztráty alespoň rovné VaR by dalo (0,08×1000+0,02×5000)/0,10=1800 CZK a 10% kraj. Obě čísla jsou jiné podmíněné průměry, nikoli náš ES95.

Ani správných 2600 není maximální scénář: už zadaných 5000 jej převyšuje. Mimo tento model mohou existovat další nezahrnuté výsledky. Nová CZK kontrola tak současně odhaluje chybné filtrování, záměnu hladiny a falešný slib největší možné ztráty.

Rozpočet obchodu a kraj portfolia nejsou náhrady

Zvolené procento na obchod vymezuje modelový peněžní rozpočet při stanoveném stopu. Portfolio ES popisuje ztráty během určeného horizontu, který nemusí být měsíc. Jedno procento, půl procenta ani odhad ES nejsou zaručeným realizačním limitem. K oběma výpočtům patří jiné vstupy a mohou být uvedeny vedle sebe.

Samotný historický měsíční kraj 11,5 % neurčí dolarový šok ani jeho příčinu. U souběžných pozic sestavte společné scénáře, zahrňte náklady a nejprve sečtěte peněžní ztráty uvnitř každého scénáře. Potom vybírejte kraj portfolia. Korelace sama neudává velikosti ztrát nebo jejich krajní závislost. Portfoliové riziko nelze nahradit součtem názvů měnových párů.

Čtyři časté chyby výkladu

ES95 neznamená, že určená ztráta nastane v 95 % budoucích období; průměruje nejhorších 5 % zadané modelové hmoty. Přísná nerovnost na hranici může výsledek změnit. Druhou chybou je automatické násobení denního empirického ES odmocninou počtu dní. Takové časové škálování potřebuje předpoklady rozdělení a závislosti; nezávislé normální přírůstky jsou jeden konkrétní model, ne univerzální vlastnost každé historické řady.

Třetí chybou je považovat krajní průměr za garanci jednotlivé ztráty. Budoucí výsledek jej může překročit a model může úplně vynechat určitý šok. Čtvrtou je vynechat výnosový kontext. Sharpe a Sortino popisují jiné vztahy výnosu a kolísání; ani jejich doplnění samo nevytvoří úplný důkaz kvality strategie.

Konkrétní postup další kontroly

1. Zapište horizont, znaménko, kvantilovou konvenci, okno a váhy. U dvanácti stejných bodů rozlišujte 5% část nejhoršího a průměr dvou s vahou 2/12.
2. Oddělte ES, maximální drawdown a rozpočet jednotlivého obchodu. Propad potřebuje cestu a průběžné vrcholy; kraj průměruje scénářové ztráty horizontu.
3. Spárujte pozice ve společných scénářích a až po součtu vybírejte kraj. Zachovejte jednotnou měnu, náklady a předpoklady závislosti.
4. Přepočítávejte odhad v konzistentním okně. Hlubší podepsaný výnos je zápornější, větší kladná ztráta naopak zvýší ES. Změna může souviset s novým bodem, expozicí, volatilitou i šumem vzorku.

Simulace historických výnosů vytváří další modelové cesty, nikoli nové nezávislé důkazy dosud nepozorovaných šoků. Navazuje společná měnová expozice a Monte Carlo simulace strategie. Popište, co model zná a co ponechává otevřené.