CVaR: kuyruk ağırlığı, ortak senaryo ve hesap parası

VaR, tanımlanmış kayıp dağılımındaki bir yüzdelik eşiğidir; gelecek ayı garanti etmez. Bu yazıda Expected Shortfall ile aynı anlamda kullanılan CVaR, seçilmiş en kötü kuyruk olasılık kütlesinin ortalama kaybıdır. Ayrık veride sınırdaki ağırlığın nasıl bölündüğü önemlidir. Küçük sayısal örneği banka sermaye kurallarından ayrı okuyun.

CVaR ile VaR’ın farkı

L=−getiri tanımını kullanalım: pozitif sayı kayıp, negatif sayı kazanç. VaR 95, modelde birikimli olasılığın en az %95’e ulaştığı en küçük kayıp değeridir. Sürekli dağılımda %5 üst kuyruk bırakır; ayrık veride eşik üzerinde sıfırdan büyük olasılık olabilir. Tarihsel yüzdelik geleceğin doğrulanmış olasılığı değildir. On iki eşit ağırlıklı gözlemin tam %95’i bir eşiğin altında olamaz.

Sınırda olasılık atomu olmayan sürekli dağılımda CVaR, VaR ötesindeki en kötü kuyruğun ortalaması diye yazılabilir. Ayrık senaryoda ise seçilmiş tam kuyruk kütlesini doldurun; gerekiyorsa sınırdaki ağırlığın yalnız bir kısmını alın. Yalnız VaR’dan kesin büyük gözlemleri süzmek başka sonuç verebilir. İki model aynı VaR 95’e sahipken en kötü %5 ortalamaları farklı olabilir; en büyük tek gözlem de bu ortalamayı tek başına belirlemez.

Basel banka sermaye çerçevesinde Expected Shortfall

Basel Komitesi’nin Ocak 2019 piyasa riski standardı, 2016 çerçevesini gözden geçirerek iç modellerde ES kullanımını sürdürür. Metnin MAR 33 bölümünde tek taraflı %97,5 düzey, 10 günlük temel likidite ufkundan düzenleyici düzeltmeler ve stres kalibrasyonu bulunur. VaR, temerrüt riski ve geriye dönük test gibi başka gerekliliklerde yer alır. Bu tarihsel banka sermaye belgesi her ülkede bugünkü yürürlük tarihini veya Türkiye’de bireysel hesabın risk limitini belirlemez.

Aynı ortak dağılım, ufuk ve düzeyde ES alt-toplanabilirdir: ES(A+B) ≤ ES(A)+ES(B). Bu matematiksel özellik, gerçekleşmiş toplam kaybın ayrı risk tahminlerini geçemeyeceği anlamına gelmez. VaR genel olarak bu özelliği sağlamaz. Aşağıdaki karşılaştırma, ayrı kuyrukları toplamakla birleşik dağılımın kuyruğunu bulmanın neden farklı olduğunu gösterir.

Önce aynı senaryodaki kayıpları toplayın

Kaynak modelde her biri %25 ağırlıklı dört ortak senaryo var; tüm tutarlar PLN ve pozitif sayı kayıp. A=(0,0,10,10). Birinci alternatifte B=(10,10,0,0), birleşik kayıplar (10,10,10,10). İkinci alternatifte B=(0,0,10,10), birleşik kayıplar (0,0,20,20). Bunlar ardışık zaman serileri değil, iki farklı bağımlılık modelidir.

ES 50, en kötü %50 kütlenin ortalaması; bu dört eşit ağırlıkta en büyük iki kayıp alınır. Ayrı A ve B’nin ES 50’si her iki modelde de (10+10)/2=10 PLN; ayrı ölçülerin toplamı 20. Fakat portföy ES’si ilkinde 10, ikincisinde 20 PLN. Kuyruğu seçmeden önce aynı senaryodaki sonuçları toplayın. Sınırdaki eşit kayıplar uygun ağırlıkla dahil edilir. %50 mekanizmayı göstermek içindir, düzenleyici düzey veya öneri değildir; gerçek enstrümanların kalıcı bağımlılığı veya gelecek kayıp tavanı kurulmaz.

On iki aylık örnek: hangi kuyruk hesaplandı?

Kaynak on iki kurgusal aylık getiriyi eşit ağırlıklı senaryo sayar. Birim aylık yüzde, L=−getiri. Başlangıç 50.000 USD bakiye yalnız isteğe bağlı sabit senaryo tutarı tabanıdır; her gerçek ayın değişen sermaye paydası değildir.

%95 düzeyde istenen kuyruk %5, her gözlem %8⅓ kütle taşır. Doğru sınır ağırlığı, en kötü %14 kayıptan yalnız %5 kütle alır; bu ampirik ES 95 %14 olur. Matematiksel olarak tanımlıdır, fakat tek bir uç gözleme tamamen bağlıdır. %11,5 en kötü ikinin ortalaması ve α=%83⅓’tür. Kırk eşit gözlemde %5 tam iki gözlem eder; bu sayının tutması güvenilirliği kanıtlamaz.

Küçük kuyruk tek aşırılığa duyarlıdır. Aylık getiriler boşluk ve gün içi hareketlerin ay sonu özkaynağa net etkisini içerir; ay bitmeden geri kazanılan kaybı gizleyebilir. Daha sık özkaynak ve düşüş kayıtlarını ayrıca okuyun. Rejim değişimi, tarihsel kuyruğu temsil gücü zayıf hale getirebilir.

TRY deneyi: önce çevrim mi, önce kuyruk seçimi mi?

Ayrı dört-senaryo modeli: her biri %25; yalnız aynı ufuk sonunda TRY’ye çevrilen USD kayıp bileşenini ölçüyoruz. USD tutulan anaparanın yeniden değerlenmesi ve masraflar dahil değil. Senaryoların USD kayıpları 100,90,80,70; aynı satırdaki varsayımsal TRY/USD kurları 30,40,60,80. Bunlar gözlenen veya tahmin edilen kur değildir.

Satır satır TRY kayıpları 3.000,3.600,4.800,5.600 olur. USD’de en kötü yarının ortalaması (100+90)/2=95 USD. Bunu keyfî tek 40 kuruyla çarpmak 3.800 TRY verir. Oysa TRY’de en kötü satırlar farklıdır: (5.600+4.800)/2=5.200 TRY. Önce USD kuyruğunu seçip onun satırlarını kendi kurlarıyla çevirseniz bile (3.000+3.600)/2=3.300 bulunur; bu da TRY kuyruğu değildir.

Doğru soru, ölçünün hangi para biriminde tanımlandığıdır. Ortak sabit pozitif kurda sıralama korunur; burada kur her senaryoda farklıdır ve sıralamayı tersine çevirir. Bu örnek bütün hesabın TRY getirisi veya döviz taşımanın tavsiyesi değildir. Kayıp, kur ve ağırlık aynı satırda eşleşmeden iki ayrı veri listesini karıştırmayın.

İşlem bütçesi ile portföy kuyruğu farklı sorular

Seçilmiş işlem yüzdesi plan para kaybı bütçesini ifade eder. Portföy ES’si belirlenmiş ufuk/model kayıplarının kuyruğunu ortalar; mutlaka aylık değildir. Ne %1 ayarı ne de ES tahmini gerçekleşme kaybının kesin tavanıdır. Ayrı girdilerle birlikte raporlanabilirler; biri diğerinin yerine evrensel oran dayatmaz.

%11,5 aylık tarihsel kuyruk tek başına dolar şoku sonucunu veya nedenini belirlemez. Eşzamanlı pozisyonlarda ortak senaryoları tanımlayıp her satırdaki kayıpları toplayın; sonra birleşik kuyruğu seçin. Maruziyet, maliyet, bağımlılık ve çevrim varsayımlarını incelemeden tek bir sayıdan otomatik kaldıraç azaltma kararı çıkarmayın.

CVaR’ın yaygın yanlış okumaları

• Düzeyi gelecek kayıp sıklığı sanmak: ES 95, modelin en kötü %5 kütlesini ortalar; gelecek dönemlerin %95’inde belirtilen kayıp yaşanacak demek değildir. Ayrık sınır ağırlığı gerekir.
• Günlüğü mekanik olarak aya taşımak: karekök-zaman oynaklık ölçeklemesi sabit varyans ve zaman bağımlılığı varsayımlarını ister. VaR/ES için ayrıca dağılım varsayımı gerekir; bağımsız normal artışlar bir modeldir. Sırf işlem günü sayısı biliniyor diye ampirik CVaR’a çarpan uygulamayın.
• Garanti saymak: CVaR seçilmiş dağılımı özetler. Gelecek tekil kayıp daha büyük olabilir veya modelin atladığı bir durum gerçekleşebilir.
• Getiri bağlamını atlamak: Sharpe ve Sortino farklı getiri/risk sorularını tamamlar; hiçbiri tek başına strateji doğrulaması değildir.

Hesabı izlenebilir hale getiren beş adım

1. Ufuk, işaret, yüzdelik ve pencereyi yazın. On iki eşit gözlemde %5, en kötü gözlemin yalnız kütle parçasıdır. En kötü ikiyi seçerseniz 2/12 diye etiketleyin; geleceğin olasılığı doğrulanmaz.
2. ES ve en büyük düşüşü ayırın. ES ufuk kayıplarını ortalar; en büyük düşüş zamansal yol ve yürüyen zirveye bağlıdır. Tarihsel ölçü gerçekleşme sınırı değildir.
3. Ortak satırlarda kayıpları eşleştirin. Portföy ES’sini ayrı ES toplamı sanmayın; korelasyon tek başına kuyruk bağımlılığını belirlemez.
4. Aynı tanımlı pencereyle yeniden hesaplayın. İşaretli getiri kuyruğu derinleşince daha negatif, pozitif-kayıp CVaR’ı büyür. Yeni veri, oynaklık, maruziyet veya örneklem gürültüsü etkili olabilir; yalnız iki neden dayatmayın.
5. Simülasyon ile yeni kanıtı karıştırmayın. Monte Carlo belirtilmiş bağımlılık altında yeni yollar üretir, gözlenmemiş şoklar için yeni bağımsız veri yaratmaz. Varsayımları görünür tutun.