VaR identifică o cuantilă a unei distribuții de pierderi definite; nu garantează rezultatul lunii următoare. CVaR, numit aici Expected Shortfall sau ES, face media celei mai nefavorabile mase de probabilitate specificate. Datele discrete cer tratament corect al ponderii de la graniță. Separăm calculul unor modele fictive de cerințele de capital pentru bănci.

Diferența dintre CVaR și VaR

Folosim L = −randament: valori pozitive înseamnă pierderi, negative înseamnă câștiguri. VaR95 este cea mai mică valoare a pierderii pentru care probabilitatea cumulată din model ajunge la cel puțin 95%. În distribuția continuă fără atom la graniță rămâne coada superioară de 5%. În distribuția discretă, un punct poate avea pondere nenulă.

O cuantilă istorică nu este probabilitate viitoare verificată. Douăsprezece observații cu ponderi egale nu pot avea exact 95% dintre observații sub un prag. Scrie convenția de cuantile înainte să compari rezultatele produse de două programe.

În cazul continuu fără masă la VaR, CVaR poate fi exprimat ca media pierderilor din coada de dincolo de VaR. Pentru scenarii discrete ori eșantion empiric, selectează exact masa de coadă și include fracția corespunzătoare a masei de graniță. Filtrarea numai a valorilor strict mai mari decât VaR poate produce alt rezultat.

Autoverificare: două distribuții pot avea același VaR95 și medii diferite în cele mai nefavorabile 5%. Nici observația maximă singură nu determină acea medie în orice model. Specifică toate valorile și ponderile cozii.

Expected Shortfall în standardul bancar Basel

Standardul Comitetului Basel din ianuarie 2019, revizuit în februarie, actualizează cadrul din 2016 și păstrează ES în abordarea modelelor interne pentru riscul de piață. Secțiunea MAR33 folosește nivel unilateral 97,5%, orizont de lichiditate de bază zece zile, ajustări pentru orizonturi de lichiditate și calibrare la stres.

VaR rămâne în alte cerințe, inclusiv default risk și backtesting. Acesta este contextul istoric al cerințelor de capital bancar. Documentul nu stabilește pentru cititor data actuală a implementării în fiecare jurisdicție și nu impune un plafon de pierdere ori procent per tranzacție pentru contul retail din România.

La aceeași distribuție comună, același orizont și nivel, ES este subaditiv: ES(LA + LB) ≤ ES(LA) + ES(LB). Proprietatea măsurii nu plafonează pierderea realizată a portofoliului. VaR nu este în general subaditiv. Diagrama explică de ce media cozii sumei nu este obligatoriu suma mediilor separate.

Adună întâi pierderile în scenarii comune

Distribuțiile individuale identice pot coexista cu pierderi simultane diferite. Mediile separate nu dezvăluie dependența dintre poziții.

Adună pierderile în scenariile comuneDouă modele cu patru scenarii comune de 25%. A pierde 0, 0, 10, 10 PLN. B pierde fie 10, 10, 0, 0, fie 0, 0, 10, 10. Sumele sunt 10 peste tot sau 0, 0, 20, 20. ES50 al sumei este 10 sau 20 PLN; ES50 individual rămâne 10 pentru fiecare.Fiecare scenariu comun are pondere 25%Valorile pozitive sunt pierderi în PLNPoziția APoziția BPierderi separatePierderi simultaneS 1S 1100S 2S 2100S 3S 31020S 4S 410200102001020ES50 al sumei:10 PLNES50 al sumei:20 PLNAmbele: ES50(A) + ES50(B) = 20 PLN
ES al sumei cere scenarii comune. Patru scenarii de 25%, pierderi pozitive PLN. ES50 individual 10 fiecare; portofoliul are ES50 10 sau 20 după dependență.

Suma măsurilor individuale de 20 PLN nu determină singură coada portofoliului. Nivelul 50% este numai didactic.

Pe un ecran mic poți derula diagrama orizontal sau o poți mări. Valorile și concluzia apar și în textul de mai jos.

Modelul original are patru scenarii cu 25% fiecare, o monedă PLN și același orizont fictiv. Comparăm modele alternative de dependență, fără a trata rândurile ca serie temporală. Pozitiv înseamnă pierdere. ES50 face media celei mai nefavorabile jumătăți a masei: aici două observații egale, inclusiv valori egale la graniță. Nivelul 50% clarifică mecanismul, fără setare de reglementare sau recomandare.

A pierde 0, 0, 10, 10 PLN. În primul model, B pierde 10, 10, 0, 0, deci suma este mereu 10. În al doilea, B pierde 0, 0, 10, 10, iar suma este 0, 0, 20, 20. Fiecare ES individual este 10 și suma lor 20. ES al portofoliului este însă (10 + 10)/2 = 10 în primul model și (20 + 20)/2 = 20 în al doilea.

Adună rezultatele în același scenariu înainte să alegi coada. Definiția Rockafellar–Uryasev include corect fracțiile masei de graniță. Modelele nu demonstrează dependență stabilă a instrumentelor reale și nu garantează limita pierderii viitoare.

Calcul ilustrativ pentru cont retail

Tratăm douăsprezece randamente lunare fictive ca scenarii cu pondere egală. Menținem procentele lunare drept unitate de date. Soldul inițial 50 000 USD este numai bază opțională fixă pentru suma unui scenariu; nu devine automat numitorul fiecărei luni dintr-un cont care se schimbă.

Pe un ecran mic, derulează tabelul orizontal pentru a citi toate coloanele.

Douăsprezece rezultate ipotetice
ElementValori sau calcul
Șapte luni pozitive+4%, +3%, +6%, +2%, +5%, +1%, +7%.
Cinci luni negative−2%, −3%, −9%, −14%, −6%.
Cele mai mari două pierderi14% și 9%, masă 2/12 = 16⅔%.
ES la α = 10/12 = 83⅓%(14% + 9%)/2 = 11,5%, pierdere pozitivă.
Pe baza fixă de 50 000 USD11,5% × 50 000 = 5 750 USD.

Media celor mai slabe două luni nu este ES95 și nici pierdere maximă posibilă. Sumele monetare ale lunilor efective ar cere bazele lor proprii de capital. Numărul nu prescrie dimensiunea unei poziții.

La 95%, coada cerută este 5%, dar fiecare dintre cele douăsprezece observații are 8⅓%. Luăm numai masă de 5% din cea mai mare pierdere de 14%, astfel încât ES95 empiric este 14%. Este definit matematic, dar depinde integral de un singur extrem observat. Media 11,5% corespunde α = 10/12. Cu 40 de observații egale, două intră exact în coada de 5%; acest număr nu demonstrează fiabilitatea estimării.

Puține valori determină coada, deci estimarea este sensibilă. Randamentele lunare includ efectul net al gap-urilor și mișcărilor intrazilnice asupra equity de final de lună, dar pot ascunde pierderile recuperate înainte de închidere. Verifică separat equity mai frecventă și drawdown-ul. Schimbarea condițiilor pieței poate face istoricul nereprezentativ.

Test RON: 30 de scenarii nu înseamnă două observații întregi în coada de 5%

Model separat inventat: 30 de scenarii egale pentru același orizont, pierderi în RON: 1 200 în cel mai rău, 600 în al doilea, zero în celelalte 28. Nu sunt frecvențe măsurate sau probabilități verificate pe piață.

Cumulata la zero este 28/30, sub 95%; la 600 ajunge 29/30, peste 95%, deci VaR95 = 600 RON. Coada de 5% reprezintă 1,5 observații: întreaga observație de 1 200 și jumătate din cea de 600. ES95 = (1 200 + 0,5 × 600)/1,5 = 1 000 RON.

Media strict peste VaR ar da 1 200; media tuturor valorilor cel puțin egale cu VaR ar da 900. Niciuna nu respectă aici masa de 5%. Dacă alegi baza fixă fictivă de 20 000 RON, ES este 5%, deși scenariul maxim este 6%. Cei 1 000 nu sunt limită de pierdere. În jurnal păstrează definiția, ponderile și fracția de graniță, astfel încât altă persoană să poată reproduce calculul.

Bugetul per tranzacție și coada portofoliului

Procentul ales per tranzacție exprimă o pierdere monetară modelată. ES descrie distribuția pierderilor portofoliului pe un orizont specificat, care nu trebuie să fie lunar. Nici 1% ales, nici ES nu garantează plafonul pierderii. Pot apărea împreună în raport, dar au intrări diferite.

Media istorică lunară de 11,5% nu identifică singură suma unui șoc al dolarului sau cauza. Pentru poziții suprapuse, definește scenarii comune, adună pierderile în fiecare și abia apoi selectează coada. Verifică expunerea, costurile și dependența, fără reducerea automată a levierului doar din acest număr.

Interpretări greșite frecvente

  • Încredere confundată cu frecvență viitoare. ES95 mediază cea mai slabă masă de 5% a modelului; nu spune că o pierdere dată apare în 95% din perioadele viitoare.
  • Scalare mecanică în timp. Regula rădăcinii timpului pentru volatilitate cere ipoteze despre varianță și dependență. Aplicarea ei la VaR sau ES cere ipoteze suplimentare de distribuție; incrementările normale independente oferă un model comun. Nu multiplica ES empiric numai fiindcă știi numărul de zile.
  • Garanție imaginară. ES rezumă distribuția selectată; o pierdere individuală viitoare îl poate depăși, iar scenarii noi pot lipsi din date.
  • Context de randament omis. ES singur nu validează strategia. Adaugă Sharpe și Sortino, cu definiții și date consecvente.

Cum pregătești următorul calcul?

  1. Alege orizontul, semnul, cuantila și fereastra. La douăsprezece observații, coada de 5% ia numai o fracție din extrem. Dacă alegi două observații, etichetează explicit coada de 2/12. Niciuna nu verifică probabilitățile viitoare.
  2. Separă ES de MDD și buget. ES mediază pierderi pe orizont; MDD depinde de traseu și maxime rulante. Niciunul nu este limită garantată de execuție.
  3. Potrivește scenariile. Corelația singură nu fixează dependența din coadă ori mărimea pierderilor. Suma ES separate nu este în general ES al sumei.
  4. Recalculează pe o fereastră consecventă. Coada randamentelor semnate devine mai negativă când se adâncește; ES ca pierdere pozitivă crește. Schimbarea poate veni din date noi, volatilitate, expunere sau zgomot de eșantionare, fără diagnostic cu numai două cauze posibile.

Simularea din randamente istorice poate genera trasee suplimentare sub dependența declarată, fără dovezi independente noi despre șocuri neobservate. Continuă cu simularea Monte Carlo și scăderea maximă. Păstrează ipotezele și rezultatele în jurnal, separat de explicația standardului bancar.