CVaR ed Expected Shortfall: pesi di coda e scenari comuni

Va R individua un quantile di una distribuzione di perdita. CVaR, qui chiamato anche Expected Shortfall o ES, calcola la media della massa di probabilità peggiore specificata, includendo correttamente il confine nei dati discreti. Non è il massimo possibile né una probabilità futura verificata. Gli esempi seguenti sono modelli didattici, non limiti di rischio del lettore.

Quantile e coda sono domande diverse

Convenzione L=−rendimento: valori positivi sono perdite, negativi guadagni. Va R 95 è il più piccolo valore di perdita con probabilità cumulata almeno 95% nel modello. In una distribuzione continua senza massa sul confine, ES 95 coincide con media della coda superiore 5%. Nei campioni discreti devi includere la frazione pertinente della massa di confine: filtrare soltanto osservazioni strettamente maggiori del Va R può produrre un’altra quantità.

Due distribuzioni possono condividere il quantile e avere code diverse. Non basta conoscere il singolo caso peggiore per ricostruire una media di coda più ampia: servono tutti i valori e pesi pertinenti. Dodici osservazioni equiponderate non hanno esattamente 95% dei casi sotto una soglia; il metodo di quantile e quello di ES vanno dichiarati, non nascosti da un arrotondamento.

Il contesto bancario di Basilea

Lo standard del Comitato di Basilea di gennaio 2019 rivede il quadro 2016 e usa Expected Shortfall nei modelli interni per rischio di mercato: MAR 33 indica livello unilaterale 97,5%, orizzonte base di liquidità dieci giorni con aggiustamenti e calibrazione di stress. Va R resta in altri requisiti, compresi ambiti di default e backtesting. È disciplina del capitale bancario, non impostazione di un conto retail né prova delle date di attuazione correnti in ogni paese.

Nel comune modello, orizzonte e livello di confidenza, ES è subadditivo: ES(LA+LB)≤ES(LA)+ES(LB). È una proprietà della misura, non limite alla perdita realizzata. Va R non ha subadditività generale. Il nostro modello seguente rende visibile perché sommare misure separate non ricostruisce automaticamente la coda del portafoglio.

Prima somma nello stesso scenario

Esperimento originale PLN: quattro scenari alternativi condivisi, ciascuno con peso inventato 25%, stesso orizzonte e valuta; perdita positiva. A perde [0,0,10,10] in entrambi i modelli. Nel modello disgiunto B perde [10,10,0,0], somme [10,10,10,10]. Nel modello simultaneo B perde [0,0,10,10], somme [0,0,20,20]. Non sono serie temporali consecutive e non sono dipendenze stimate di strumenti reali.

ES 50 seleziona metà peggiore della massa, qui due osservazioni equiponderate incluse parità di confine. Ogni posizione separata ha ES 50=(10+10)/2=10 PLN, somma delle misure 20. Portafoglio disgiunto ES 50=(10+10)/2=10; simultaneo=(20+20)/2=20. Il 50% chiarisce il meccanismo, non è parametro regolamentare o raccomandato.

Nuovo caso EUR separato: quattro scenari condivisi uguali al 25%, A=[0,0,12,12] EUR. B opposto=[12,12,0,0] dà somme tutte 12 e ES 50 12 EUR. B simultaneo=[0,0,12,12] dà [0,0,24,24] ed ES 50 24. Stessi ES individuali 12 e 12; cambiare dipendenza raddoppia la coda della somma senza cambiare le distribuzioni individuali. Non confondere questa costruzione con correlazione storica verificata o garanzia di diversificazione.

Dodici mesi ipotetici e confine al 95%

Rendimenti mensili originali trattati come scenari equiponderati: +4%, +3%, +6%, +2%, +5%, +1%, +7%, −2%, −3%, −9%, −14%, −6%. L=−rendimento. I due peggiori valori di perdita sono 14% e 9%: media 11,5%. Ma la loro massa è 2/12=16⅔%, dunque questo è ES al livello α=10/12=83⅓%, non ES 95.

Base USD fissa facoltativa di scenario 50.000: 11,5%=5.750 USD. Non è il denominatore variabile di ogni mese osservato: per perdite monetarie effettive servono basi di ciascun mese. Al 95% la coda desiderata è 5%, mentre ogni osservazione pesa 8⅓%. Si prende soltanto 5% della massa del peggiore −14%; ES 95 empirico è quindi 14%, completamente dipendente da un solo estremo nel campione.

Con 40 osservazioni equiponderate una coda 5% contiene esattamente due osservazioni; il conteggio non dimostra attendibilità. Con 30 contiene 1,5: prendi perdita peggiore con peso relativo 1 e seconda con 0,5, poi dividi per 1,5. Nuova verifica numerica separata EUR: peggiori perdite di scenario 30 e 12 EUR, altre inferiori; ES 95=(30+0,5 ×12)/1,5=24 EUR. Prendere due valori interi darebbe 21 e cambierebbe massa di coda. Non attribuiamo frequenze future a questi casi inventati.

Le chiusure mensili comprendono l’effetto netto di movimenti e gap sul finale del mese ma possono nascondere perdite recuperate prima della chiusura. Guarda equity più frequente e drawdown separatamente. Un campione di coda piccolo è sensibile agli estremi e il regime futuro può non assomigliare al passato.

Budget per operazione e coda di portafoglio

Una percentuale scelta per trade definisce un budget di perdita modellata; ES descrive una distribuzione sull’orizzonte specificato, non necessariamente mensile. Nessuno dei due limita il fill effettivo. Il solo 11,5% mensile storico non identifica un futuro shock sul dollaro o la sua causa: devi costruire scenari comuni, esposizioni e costi, poi sommare prima di selezionare la coda.

Una somma di ES separati è un dato utile di confronto nel modello comune, non automaticamente l’ES della combinazione. Correlazione da sola non specifica dimensioni e dipendenza di coda. Non ridurre una leva secondo una regola universale dedotta da un solo numero senza verificare portafoglio, capitale e ipotesi.

Interpretazioni da correggere

• ES 95 non significa che una perdita specifica avvenga nel 95% dei periodi futuri: la coda del modello è il 5% peggiore.
• Un singolo risultato futuro può eccedere la media di coda, e il modello può omettere scenari futuri.
• Moltiplicare ES giornaliero per radice del tempo richiede ipotesi sulla distribuzione e dipendenza; non basta conoscere i giorni. Incrementi normali indipendenti sono un modello particolare, non regola empirica universale.
• ES e MDD sono diversi: il primo media perdite su orizzonte, il secondo segue picchi e minimi del percorso.
• Una misura di coda isolata non valuta il rendimento: confronta Sharpe e Sortino con definizioni coerenti.

Scheda riproducibile

1. Dichiara segno, valuta, orizzonte, finestra, quantile e pesi dei dati.
2. Calcola quanta massa entra nella coda e come tratti parità e frazioni sul confine.
3. Somma perdite di posizioni nello stesso scenario prima del portafoglio.
4. Riporta ES, MDD e budget per trade separati, con dati mancanti espliciti.
5. Ricalcola su finestra coerente e non attribuire una variazione a una sola causa senza esame.

Un ES in perdite positive peggiora salendo; una media di rendimenti di coda firmata peggiora diventando più negativa. Nuovi dati, volatilità, esposizioni e rumore di campionamento possono tutti contribuire. Una simulazione che ricampiona rendimenti aggiunge percorsi sotto una dipendenza scelta, non nuova evidenza indipendente degli shock non osservati. Continua con esposizioni valutarie condivise per definire fattori comuni senza scambiare correlazione per importo di perdita.