CVaR e Expected Shortfall: a cauda precisa de pesos

VaR identifica um quantil; CVaR, aqui designado Expected Shortfall ou ES, calcula a média da massa de probabilidade da cauda escolhida. Uma amostra discreta exige tratar corretamente a fronteira. Nenhuma destas medidas garante a perda do próximo mês.

VaR e média da cauda respondem a perguntas diferentes

Use L=−retorno: valores positivos são perdas e negativos são ganhos. VaR 95 é o menor valor de perda cuja probabilidade acumulada modelada atinge pelo menos 95%. Numa distribuição contínua sem massa na fronteira, ES95 é a média dos piores 5%. Em cenários discretos, a fronteira pode ter probabilidade positiva: inclua apenas a fração necessária para completar a cauda. Filtrar perdas estritamente maiores que VaR pode produzir outra medida, ou um conjunto vazio.

Duas distribuições podem partilhar o limiar VaR95 e ter médias da cauda muito diferentes. O pior valor isolado também não determina essa média sem os restantes valores e pesos. Um quantil histórico descreve a distribuição empírica escolhida; não verifica automaticamente a frequência futura. Com doze observações de igual peso, nenhuma contagem inteira representa exatamente 95% da amostra.

Basileia é contexto bancário, não limite de uma conta retalhista

O padrão de risco de mercado de janeiro de 2019 revê o enquadramento de 2016 e conserva ES nos modelos internos. MAR33 especifica nível unilateral de 97,5%, horizonte base de liquidez de dez dias, ajustamentos regulamentares e calibração de stress. VaR continua noutras exigências, incluindo risco de incumprimento e backtesting. Este documento histórico de capital bancário não estabelece datas atuais de aplicação em todos os países nem um limite obrigatório para o investidor particular português.

Para a mesma distribuição conjunta, horizonte e confiança, ES é subaditivo: ES(A+B)≤ES(A)+ES(B). A propriedade não limita perdas efetivas. VaR não é em geral subaditivo. Somar médias calculadas separadamente não equivale necessariamente a calcular a cauda da carteira.

Some perdas nos mesmos cenários antes de escolher a cauda

Experimento original em PLN: quatro cenários partilhados de 25% cada. A perde 0, 0, 10, 10. No primeiro modelo, B perde 10, 10, 0, 0: a soma é sempre 10. No segundo, B perde 0, 0, 10, 10: a soma é 0, 0, 20, 20. Cada posição tem ES50 de 10 nos dois modelos, mas o ES50 da soma é 10 ou 20. Primeiro some cada linha; depois calcule a média das duas maiores perdas. Os 50% tornam o mecanismo legível e não são parâmetro regulamentar ou recomendação.

Doze meses: dois piores não significam ES95

Retornos mensais hipotéticos, igualmente ponderados: +4%, +3%, +6%, +2%, +5%, +1%, +7%, −2%, −3%, −9%, −14%, −6%. As duas maiores perdas são 14% e 9%. A média de 11,5% usa cauda 2/12=16⅔%, correspondendo a confiança 10/12=83⅓%. Aplicá-la a uma base fixa de cenário de 50 000 USD dá 5750 USD, sem afirmar que cada mês real começou nessa base.

A cauda ES95 pretendida tem massa 5%, mas cada observação pesa 8⅓%. É preciso usar apenas 5% da massa do pior valor de 14%; a média empírica é portanto 14%, inteiramente dependente de um único extremo. Com 40 observações, 5% corresponde a duas; essa contagem não prova fiabilidade. Com 30, a cauda equivale a 1,5 observações: (pior +0,5×segunda pior)/1,5. Não existe um limiar universal de 60 que resolva incerteza.

Caso adicional EUR: 30 cenários iguais, maiores perdas 1000 e 600 EUR. A convenção anterior dá ES95=(1000+0,5×600)/1,5≈866,67 EUR. Fazer (1000+600)/2=800 utiliza massa 2/30, outra confiança; usar só 1000 ignora a parte necessária da segunda observação. As perdas são inventadas num horizonte comum, sem previsão de frequência.

Retornos mensais contêm o efeito líquido de movimentos intradiários e gaps até ao fecho do mês, mas podem ocultar perdas recuperadas antes desse fecho. Observe equity mais frequente e drawdown separadamente. Uma mudança de regime pode tornar a amostra passada pouco representativa.

Orçamento por operação e cauda de carteira

Uma fração escolhida por operação define um orçamento monetário modelado. ES calcula uma média de perdas de horizonte numa distribuição, que pode ser diária e não mensal. Nenhum é um teto de execução. Uma média mensal de 11,5% não identifica sozinha o efeito de um choque específico no dólar ou a sua causa. Para posições sobrepostas, especifique perdas comuns, custos e dependência; correlação por si só não determina a gravidade conjunta das caudas.

Leituras erradas a evitar

ES95 não significa que a mesma perda ocorra em 95% dos períodos futuros. Não multiplique uma cauda empírica pela raiz do número de dias sem um modelo adicional: a regra de escala exige hipóteses sobre distribuição, variância e dependência; incrementos normais independentes são um caso específico. Uma perda futura pode superar ES ou pertencer a cenário ausente. Combine a leitura com retorno, Sharpe, Sortino e drawdown, sem transformar mais métricas em certificado de robustez.

Uma simulação histórica gera trajetórias sob as regras de amostragem e dependência adotadas. Não cria nova evidência independente de choques nunca observados. Se reportar retornos assinados, a cauda negativa fica mais negativa quando piora; se reportar magnitudes positivas de perda, ES aumenta. Use uma só convenção e explique mudanças de exposição, volatilidade e amostra sem escolher uma causa única automaticamente.

Protocolo reproduzível

• Declare horizonte, sinal, janela, pesos, método do quantil e tratamento das fronteiras.
• Some resultados na mesma linha de cenário e na mesma moeda antes de selecionar a cauda da carteira.
• Guarde os maiores valores usados e recalcule com janela consistente; compare também equity e perdas por operação.

Continue em Correlações cambiais: direção não substitui tamanho para distinguir dependência e exposição monetária. Valor em risco (VaR), Risco da carteira e Drawdown — queda a partir de um máximo são medidas relacionadas, mas não intercambiáveis.