Kellyho kritérium: celý model, náklady a spoločné straty

Kellyho kritérium hľadá dlhodobý logaritmický rast v presne určenom pravdepodobnostnom modeli. Neurčuje automaticky vhodný objem forexovej pozície. Trhové vstupy musíme odhadovať a skutočné straty môžu prekročiť predpoklad. Oddeľme preto správny výpočet od rozhodnutia použiť jeho výsledok na účte.

Čo Kelly skutočne skúmal?

Článok Johna L. Kellyho Jr. A New Interpretation of Information Rate vyšiel v júli 1956 v Bell System Technical Journal. Spája informáciu, opakované stávky a logaritmický rast kapitálu. Záleží na možnosti reinvestovať a meniť rozdelenie kapitálu, aj na predpokladoch pravdepodobností a prípustných stávok. Nie je to dôkaz výnosnosti forexového signálu.

V konkrétnom binárnom modeli stavíme podiel f kapitálu. S pravdepodobnosťou p získame čistých b-násobok stávky; s pravdepodobnosťou 1 −p stratíme presne celú stávku. Pri b >0 a kladných konečných kapitáloch je cieľ g(f) =p ln(1 +bf) +(1 −p) ln(1 −f). Vnútorné maximum má f =p −(1 −p)/b. Je to očakávaná hodnota logaritmu zmeny kapitálu, nie samotnej peňažnej výplaty.

Ak povoľujeme iba nezápornú stávku alebo neúčasť, záporný výsledok vzorca znamená žiadnu kladnú stávku v tomto modeli. Neznamená pokyn obrátiť smer reálnej pozície. Ak sa zmení množina možných výsledkov, náklady alebo podmienky účasti, treba zmeniť cieľovú funkciu, nie len dosadiť optimistickejší priemer.

Prejdime si pôvodné čísla

Kritérium maximalizuje modelový logaritmický rast. Nemaximalizuje úspešnosť, aritmeticky očakávané konečné bohatstvo ani neminimalizuje drawdown. Aj matematické optimum môže priniesť hlboké poklesy. V modeli s chybným odhadom, ďalšími nákladmi alebo väčšími stratami nejde o záruku proti bankrotu.

Pôvodný ideálny model má p =0,55, výhru +1,5 jednotky stávky a stratu −1. Potom f =(0,55 ×1,5 −0,45)/1,5 =0,25. Z kapitálu 40 000 EUR by to bola stávka 10 000 EUR v tomto matematickom svete. Taký veľký podiel ilustruje citlivosť, nie odporúčanú veľkosť pozície. Pomer priemernej výhry a straty z denníka nerobí zo skutočného obchodovania dve pevné výplaty.

Náklad zníži výhru a zväčší stratu

Pôvodný abstraktný SVG používa nezávislé opakovania, presne známe p =0,50 a hrubé výsledky +1,50 alebo −1,00 na jednotku stávky. Náklad je 0,10 jednotky v každej vetve, takže čisté výsledky sú +1,40 a −1,10. Kapitálové jednotky nie sú ponukou brokera ani odhadom trhovej stratégie.

Náklady v oboch vetvách Kellyho modelu

Na malej obrazovke posúvajte diagram vodorovne alebo ho zväčšite. Vysvetlenie nájdete aj v texte.

Pri ilustračnom f =0,10 zo začiatočných 1000 stavíme 100. Výhra je čistých 140, konečný kapitál 1140; prehra čistých −110, kapitál 890. Rastové faktory sú 1,14 a 0,89. Strata je 11% kapitálu, hoci stávka tvorí 10%. Samotný náklad tvorí 1% kapitálu, ku ktorému sa pri prehre pridáva celá stávka.

Správny cieľ je g(f) =0,50 ln(1 +1,40f) +0,50 ln(1 −1,10f), pre 0 ≤f <1/1,10. Po derivovaní vyjde f =(0,50 ×1,40 −0,50 ×1,10)/(1,40 ×1,10) =15/154 ≈0,0974. Najväčšia strata je 1,10f =3/28 ≈10,71% kapitálu. Bez nákladu by optimum bolo 1/6. Zobrazených 0,10 je vysvetľujúci vstup, nie vypočítané optimum.

Odhad a celý chvost strát menia výsledok

Počet obchodov neurobí pravdepodobnosť ani čistú distribúciu presnými. Výber dát, meniace sa podmienky a hľadanie modelu ovplyvňujú odhad. Ani praktické počítanie kariet nemá automaticky bezchybné vstupy: záleží na pravidlách, výpočte a vykonaní. Thorp rozoberá tieto obmedzenia; jeho historické daňové a maržové príklady nie sú súčasnými slovenskými pravidlami.

Pri pevnom b =1,5 zmena p z 0,55 na 0,50 zmení f z 0,25 na 1/6 ≈0,1667. Pri p =0,60 vyjde 1/3 ≈0,3333. Sú to výsledky ideálneho vzorca, nie dôkaz prežitia účtu. Vyššie číslo samo nedokazuje nadhodnotenú pravdepodobnosť; treba preveriť všetky vstupy a možný rozsah strát.

Rozdelenie A má +1,5 s pravdepodobnosťou 55% a −1 so 45%. Rozdelenie B má +1,5 s 55%, −1/7 s 35% a −4 s 10%. Podmienená priemerná strata v B je (0,35/7 +0,10 ×4)/0,45 =1. Obe majú rovnakú priemernú výhru, priemernú stratu aj aritmetickú očakávanú výplatu +0,375 na jednotku stávky. Napriek tomu f =0,25 vymaže kapitál vo vetve −4 modelu B.

Pre B treba maximalizovať 0,55 ln(1 +1,5f) +0,35 ln(1 −f/7) +0,10 ln(1 −4f), kde 0 ≤f <0,25. Derivácia je nulová pri f =0,10 a druhá derivácia záporná. A má optimum 0,25, B iba 0,10. Presne známe vymyslené distribúcie ukazujú, prečo dve priemerné výplaty nemusia stačiť. Ani jeden podiel tu neodporúčame na trh.

V samostatnom nezávislom modeli s pravdepodobnosťou výhry 55% a presnou stratou 25% aktuálneho kapitálu zanechajú tri prehry 0,75³ =42,1875%, teda pokles 57,8125%. Pravdepodobnosť troch prehier v konkrétnom vopred určenom trojčlennom bloku je 0,45³ =9,1125%. Prekrývajúce sa okná však nie sú oddelenými čakacími časmi. Očakávaný počet pokusov do prvej trojice prehier je (1 −0,45³)/(0,55 ×0,45³) ≈18,13. Nie je to prevrátená pravdepodobnosť približne 11 ani záruka výskytu v konečnej vzorke.

Čo mení polovičný alebo štvrtinový Kelly?

Zlomkový Kelly násobí optimum modelu zvoleným koeficientom. Pri plnom podiele 25% je polovica 12,5% a štvrtina 6,25%. Zníži sa modelová stávka a expozícia. Nevyplýva z toho univerzálne polovičný drawdown, presne štvrtinová strata rastu ani znesiteľné riziko skutočného účtu. Tieto tvrdenia závisia od konkrétneho modelu a miery rizika.

Historický denník podporuje odhad a citlivostné skúšky, nie známy bezpečný násobiteľ. Niekoľko stoviek obchodov, profesionálny status ani ochota prijať pokles 20–30% nepotvrdzujú budúcu distribúciu. Najprv skúmajte čisté výplaty, neistotu odhadu a straty, ktoré model nezachytáva.

Nový EUR test: dve stávky s tým istým výsledkom. Modelový kapitál je 20 000 EUR. Dve súbežné stávky majú presne spoločnú výhernú alebo prehrávajúcu vetvu s pravdepodobnosťou 50% každej: vždy obe vyhrajú alebo obe prehrajú. Každá má rovnakých čistých +1,40 alebo −1,10 jednotky stávky ako pôvodný nákladový model; tieto čisté čísla už obsahujú náklad. Nejde o nezávislé pokusy ani o odhad korelácie dvoch skutočných párov.

Ak na každú vyhradíme f =0,10 počiatočného kapitálu, sú to dve stávky po 2 000 EUR. Spoločná výhra pridá 5 600 a účet má 25 600 EUR. Spoločná prehra odoberie 4 400 a účet má 15 600: strata 22%, nie 11%. Náklad nepripočítavame druhýkrát.

Celkový podiel F =2f má rovnaký cieľ g(F) =0,5 ln(1 +1,4F) +0,5 ln(1 −1,1F) ako jedna spoločná stávka. Jeho optimum je F =15/154; pri rovnakom rozdelení na dve časti f =15/308 ≈4,87% na každú. To nie je nové pravidlo bezpečného portfólia: je to presný výsledok tohto umelo spoločného modelu. Spočítať každú pozíciu samostatne z celej equity a ignorovať ich spoločný výsledok by riešilo inú úlohu.

Pevný podiel je iné pravidlo, nie dôkaz výhody

Zvolený 1% počiatočný rozpočet nepotrebuje odhad p a b iba na výpočet objemu. Stále potrebuje equity, vzdialenosť stopu, kontrakt, náklady a predpoklady vykonania. Nevytvorí kladnú očakávanú hodnotu ani záruku prežitia. Môže byť väčší alebo menší než konkrétny zlomkový Kelly.

ESMA vo svojom oznámení z roku 2018 citovala historické straty retailových CFD účtov. Z týchto údajov nemožno izolovať objem ako jedinú príčinu ani dokázať, že jedno pravidlo veľkosti systematicky prekonáva druhé. Podiely 1% a 2% sú vstupy plánu s konkrétnymi predpokladmi, nie automaticky optimálne či konzervatívne hodnoty pre každého.

Čo pripraviť pred použitím vzorca?

1. Definujte vzorku. Zaznamenajte čisté výsledky, vylúčenia a neistotu. Ani 200 či viac obchodov nezaručí reprezentatívnosť budúcich výsledkov.
2. Overte model. Pevná výhra a pevná strata musia zodpovedať matematickému cvičeniu. Výsledok blízky 1% nepotvrdzuje bezpečnosť; vyšší sám nevysvetlí chybu odhadu.
3. Preverte citlivosť. Pri b =1,5 skúste p =0,50, 0,55 a 0,60. Vyjde 1/6, 1/4 a 1/3; porovnajte aj veľkosť straty, nie iba percento stávky.
4. Pomenujte prahy kontroly. Denný či mesačný prah je voľba plánu. Otvorená pozícia, medzera, náklad alebo horšie plnenie môžu stratu posunúť ďalej.
5. Zapíšte dôvod revízie. Kalendárny termín ani väčší denník sám nepotvrdí odhad. Riadenie rizika musí zahŕňať aj vykonanie a spoločné výsledky pozícií.

Pokračujte na porovnanie 1% a 2%. Umožní oddeliť voľbu počiatočného rozpočtu od predstavy presne známeho pravdepodobnostného modelu.