Kelly cherche la croissance logarithmique de long terme dans un modèle de probabilités et de résultats. Ce n’est ni un objectif de réussite maximale, ni la minimisation du drawdown, ni une validation des probabilités d’un journal. Avant de calculer une taille, il faut distinguer le critère mathématique, les entrées estimées et les pertes que le modèle omet.

1. Ce qu’étudie le texte de 1956

John L. Kelly Jr. publie « A New Interpretation of Information Rate » dans le Bell System Technical Journal de juillet 1956. Son cadre relie information et croissance du capital dans des paris répétés. Dans notre application binaire, une fraction f gagne b fois la mise avec probabilité p, ou perd la mise avec probabilité 1−p. Pour b positif, maximiser g(f)=p ln(1+bf)+(1−p) ln(1−f) donne à l’intérieur du domaine f=p−(1−p)/b.

Si seules mise positive et abstention sont autorisées, un résultat négatif de cette formule signifie aucune mise positive optimale dans ce modèle, pas une instruction de retourner une position de marché. Réinvestissement, domaine admissible et distribution font partie de la question. Maximiser l’espérance arithmétique d’un capital terminal est un objectif différent.

2. Une grande fraction reste un résultat de modèle

Avec p=0,55, gain +1,5 mise et perte −1, on obtient f=0,25. Sur 40 000 EUR fictifs, la mise serait 10 000 EUR dans ce cadre. Cette fraction élevée illustre l’importance du risque de modèle ; elle n’est pas proposée pour le compte d’un lecteur. Le rapport entre gains et pertes moyens d’un journal ne transforme pas des résultats variables en deux résultats fixes. Un stop ordinaire ne garantit pas la perte supposée.

Le coût agit aussi sur la perte

La mise n’est pas la perte maximale

La mise n’est pas la perte maximaleModèle indépendant : capital abstrait 1000, mise 100, gain brut 1,5 ou perte brute 1, coût 0,1 de mise dans les deux cas. Net +140 ou −110.La mise n’est pas la perte maximaleCapital 1 000 ; f=0,10 → mise 100Branche positive : +1,50 −0,10 = +1,40Branche négative : −1,00 −0,10 = −1,10Capital final : 1 140 ou 890Perte de la branche négative : 11 %, pas 10 %
Les coûts changent les deux facteurs de capital ; les probabilités et payoffs sont inventés, pas estimés sur une stratégie.

Faites défiler horizontalement ou agrandissez le schéma pour lire les détails.

Pour le modèle du schéma, p=0,50 et résultats nets +1,40 et −1,10 par unité de mise. L’objectif devient 0,50 ln(1+1,40 f)+0,50 ln(1−1,10 f), avec 0≤f< 1/1,10 pour garder un capital positif dans chaque branche. L’annulation de la dérivée donne f=(0,50 × 1,40−0,50 × 1,10)/(1,40 × 1,10)=15/154≈0,0974. La perte maximale modélisée vaut 1,10 f=3/28≈10,71 % du capital. Sans ces coûts, l’optimum de ce modèle aurait été 1/6.

Ajout EUR distinct : capital 2 000 EUR et mise illustrative 100, soit f=0,05, dans les mêmes branches fictives nettes. Le capital final serait 2 140 ou 1 890 EUR. La branche négative perd 5,5 % du capital, pas 5 %. Cet ajout met des euros sur une autre mise ; il ne prétend pas convertir les unités abstraites du schéma.

3. Estimation et queue de distribution changent la réponse

À b=1,5 fixé, p=0,50, 0,55 ou 0,60 donne respectivement 1/6, 1/4 ou 1/3. Aucun nombre d’opérations ne rend ces probabilités exactes pour le futur. Dépendance, sélection de méthode et changement de marché doivent être examinés, avec les résultats nets plutôt que des gains bruts.

Contre-exemple : A gagne +1,5 avec 55 % et perd −1 avec 45 %. B gagne +1,5 avec 55 %, perd −1/7 avec 35 % et −4 avec 10 %. La perte conditionnelle moyenne de B vaut (0,35/7+0,10 × 4)/0,45=1. Les deux espérances valent +0,375 par mise, mais f=0,25 anéantit le capital dans la branche −4 de B. Son domaine positif impose f< 0,25 ; son objectif est 0,55 ln(1+1,5f)+0,35ln(1−f/7)+0,10 ln(1−4 f). Sa dérivée s’annule à f=0,10 et sa dérivée seconde est négative. Même taux gagnant, même perte moyenne, optimum différent.

Dans A, trois pertes exactement égales à 25 % du capital restant laissent 0,75 puissance 3=42,1875 %, baisse 57,8125 %. Sous indépendance, un bloc donné de trois pertes a probabilité 0,45 puissance 3=9,1125 %. L’attente moyenne avant la première séquence de trois vaut (1−0,45 puissance 3)/(0,55 × 0,45 puissance 3), environ 18,13 essais ; ce n’est pas l’inverse de 9,1125 %. Aucun résultat ne garantit cette séquence dans une période finie.

4. Kelly fractionnaire reste un choix de modèle

Moitié et quart de 25 % donnent 12,5 % et 6,25 %. Réduire la mise réduit l’exposition dans ce cadre, sans diviser universellement le drawdown par deux ou sacrifier une proportion fixe de croissance. Thorp discute notamment les limites des estimations et l’exposition excessive ; ses exemples historiques de titres ne constituent pas des règles actuelles pour les CFD en France. Un historique plus long ne supprime pas l’incertitude.

5. Une fraction fixe ne démontre pas l’avantage

Une règle de budget initial de 1 % évite d’estimer p et b pour ce seul calcul. Elle demande encore equity, distance, contrat, coûts et hypothèses d’exécution. Elle ne garantit ni survie ni espérance positive. Les pertes historiques de particuliers citées dans l’intervention ESMA de 2018 n’isolent pas la taille comme cause et ne classent pas toutes les méthodes. Voir la comparaison 1 % et 2 %.

6. Une vérification reproductible

  1. Définir échantillon, payoffs nets, exclusions et incertitude ; ne pas traiter 200 opérations comme certification.
  2. Vérifier si le modèle est réellement binaire et quelles pertes dépassent la mise.
  3. Comparer p=0,50/0,55/0,60 et modifier aussi la distribution, pas seulement une moyenne.
  4. Documenter les limites et dates de révision choisies. Un seuil de revue ne garantit pas l’arrêt d’une perte au même montant.

Une fraction proche de 1 % ne prouve pas la sécurité ; une fraction élevée ne prouve pas seule une erreur sur p. La bonne question est de savoir exactement quel objectif, quelles contraintes et quelle distribution ont produit le nombre.