Kellyho kritérium: podíl sázky není vždy podíl ztráty

Kellyho kritérium je matematická úloha pro dlouhodobý logaritmický růst při určeném rozdělení výsledků. V obchodování jsou pravděpodobnosti a výplaty odhady; náklady a ztráty za běžným stopem mohou model změnit. Proto oddělujte početní optimum od rozhodnutí použít takovou velikost skutečné pozice.

Co bylo v původní práci z roku 1956

John L. Kelly Jr. publikoval A New Interpretation of Information Rate v červencovém Bell System Technical Journal roku 1956. Propojil opakované sázení a informaci s růstem logaritmu kapitálu. Jeho kritérium není maximalizací úspěšnosti nebo očekávané konečné peněžní částky. Reinvestice a kontrolovatelná alokace patří k předpokladům.

Zdejší samostatná binární aplikace sází podíl f. S pravděpodobností p získá čistě b násobků sázky, jinak ji ztratí celou. Pro b>0 maximalizace g(f)=p ln(1+bf)+(1−p) ln(1−f) vede ve vnitřním optimu k f=p−(1−p)/b. Přípustné podíly musejí ponechat kladný kapitál ve všech modelových větvích. Je-li dovolena jen kladná sázka nebo neúčast, záporný výsledek vzorce znamená nesázet, nikoli automaticky obrátit tržní pozici.

Původní binární výpočet

Při přesně zadaných p=0,55, čisté výhře+1,5 a ztrátě−1 na jednotku sázky je f=(0,55×1,5−0,45)/1,5=0,25. Na původních 40 000 EUR by to znamenalo sázku 10 000 EUR uvnitř tohoto matematického modelu. Je to velká expozice, nikoli doporučení. Průměr vítězných a ztrátových obchodů v deníku nedělá skutečné výsledky binárními a běžný stop nemusí dodat právě předpokládanou ztrátu.

Optimum logaritmického růstu neminimalizuje drawdown. Může jít o prudce kolísavou cestu a při chybě modelu, vyšších nákladech nebo širším ztrátovém ocasu nemá samo zaručené přežití. Ani velký počet obchodů nepromění odhad pravděpodobnosti na známou konstantu.

Náklad mění obě větve

Původní další model má kapitál 1000 abstraktních jednotek, přesně známé p=0,50, hrubou výhru+1,50 a prohru−1,00 jednotky sázky. Náklad 0,10 sázky vzniká v obou výsledcích, tedy čistě+1,40 nebo−1,10. Při ilustrativním f=0,10 je sázka 100 a koncový kapitál 1140 nebo 890. Ztrácí se 11% kapitálu, nikoli jen 10%; jedno procento je pouze náklad.

Úloha je nyní g(f)=0,50ln(1+1,40f)+0,50ln(1−1,10f), s 0≤f<1/1,10. Nulová derivace dává f=(0,50×1,40−0,50×1,10)/(1,40×1,10)=15/154≈0,0974. Maximální modelová ztráta je 1,10f=3/28≈10,71% kapitálu. Bez nákladu by optimum bylo 1/6. Ilustrativních 0,10 nebylo vypočtené optimum a f není totéž co největší ztrátový podíl.

Odhad a tvar rozdělení mění úlohu

Při nezměněném b=1,5 dává p=0,50 podíl 1/6≈0,1667; p=0,55 jednu čtvrtinu a p=0,60 jednu třetinu. To jsou citlivosti vzorce, ne bezpečné objemy. Výběr vzorku, změna podmínek a hledání parametrů ovlivňují věrohodnost odhadu. Ani srovnání s počítáním karet neopravňuje tvrdit, že všechny herní nebo tržní vstupy jsou bez chyby.

Původní model A má+1,5 s pravděpodobností 55% a−1 s 45%. B má+1,5 s 55%,−1/7 s 35% a−4 s 10%. Podmíněná průměrná ztráta B je(0,35/7+0,10×4)/0,45=1. Oba mají průměr+0,375 jednotky sázky, přesto f=0,25 v B vynuluje kapitál ve větvi−4. Průměry tedy neuchovaly podstatnou informaci o ocasu.

Správný B cíl je 0,55ln(1+1,5f)+0,35ln(1−f/7)+0,10ln(1−4f), s 0≤f<0,25. Derivace je nulová při f=0,10 a druhá záporná; A má optimum 0,25. Jde o přesně konstruovaná rozdělení, ne strategické odhady nebo doporučení těchto zlomků. Podrobnější kontrola ocasu je jiná úloha než nahrazení všech proher jejich průměrem.

Ve zvlášť zadaném nezávislém modelu s pravděpodobností prohry 0,45 a přesnou ztrátou 25% současného kapitálu nechají tři prohry 0,75³=42,1875%, drawdown 57,8125%. Konkrétní předem vybraná trojice je samými prohrami s pravděpodobností 0,45³=9,1125%. Překrývající se trojice však nejsou nezávislé čekací bloky. Očekávaný počet pokusů do první trojice proher je(1−0,45³)/(0,55×0,45³)≈18,13, nikoli převrácených 9,1125%, asi 11. Žádná konečná řada nemá tímto zaručenu trojici.

Polovina a čtvrtina nejsou univerzální pojistkou

Fractional Kelly násobí optimum zvoleným koeficientem. Z 25 % dá polovina 12,5% a čtvrtina 6,25%. Nižší sázka mění expozici a modelovaný logaritmický růst, ale obecně nepůlí drawdown, nestojí přesně čtvrtinu růstu a nezaručuje únosnou skutečnou ztrátu. Ani několik set obchodů, profesionální status nebo ochota nést 20–30% propad nepotvrdí budoucí rozdělení.

Autoři rizikově omezených Kellyho modelů výslovně přidávají omezení drawdownu; robustní varianta pracuje s množinou možných rozdělení místo jediné známé distribuce. Zde jejich optimalizační programy nespouštíme a nepřenášíme jejich modelové záruky na CFD účet. Ukazují, že chyba odhadu a cesta rizika jsou samostatné problémy, ne detail vyřešený slovem fractional.

Nová CZK kontrola: půlení sázky nepůlí pevný náklad

Nová fikce má kapitál 20 000 CZK, hrubou výhru 1,5násobku sázky nebo prohru celé sázky a pevný obousměrný náklad 100 CZK v obou větvích. Při ilustrativní sázce 1000 CZK je čistá výhra 1400 a prohra 1100, tedy ztrátový podíl 5,5% kapitálu. Neurčujeme zde optimum ani pravděpodobnosti; jde o kontrolu úplných částek.

Zmenšení pouze sázky na 500 CZK ponechá poplatek 100. Čistá výhra je 650 CZK a prohra 600 CZK, tedy 3% kapitálu. Polovina původní úplné ztráty by byla 550 CZK neboli 2,75%, což nevyšlo. Na jednotku sázky vzrostl náklad z 0,10 na 0,20 a ztrátový násobek z 1,10 na 1,20. Nelze proto při změně objemu ponechat staré čisté výplaty. Sazby jsou zcela smyšlené; jiné provizní minimum nebo financování mohou mít jinou strukturu.

Diagnostika před výpočtem zní: škáluje každá nákladová složka se sázkou, nebo má pevnou část? Rozhoduje úplná funkce čistého výsledku pro zvolený objem. Tento příklad neopravňuje doporučit 1000 nebo 500 CZK a nevytváří nejlepší pravidlo pro skutečný účet.

Pevné procento řeší jiný vstup

Zvolený 1% plán počáteční ztráty nepotřebuje pro svůj výpočet odhad p a b, stále ale potřebuje equity, stop, kontrakt, náklady a exekuční předpoklad. Nevytváří kladnou očekávanou hodnotu ani zaručené přežití. Může být větší nebo menší než konkrétní fractional Kelly. Historické statistiky ESMA 2018 neoddělují sizing jako příčinu ztrát a neprokazují systematické vítězství jednoho pravidla.

Podíly 1% nebo 2% tedy nejsou matematickým optimem nebo automaticky konzervativním řešením pro každý účet. Srovnejte jejich předpoklady v samostatném porovnání. Četný deník neodstraňuje změny trhu a neznámé možné ztráty.

Pět kroků před použitím vzorce

1. Vymezte vzorek, čisté výsledky a vyřazení. Ověřte, zda binární model skutečně popisuje zamýšlené cvičení; 200 obchodů není jistota reprezentativnosti.
2. Počítejte binární hodnotu pouze za odpovídajících výplat. Nízké číslo neprokazuje bezpečí a vysoké samo nedokazuje přeceněnou úspěšnost.
3. Proveďte citlivost p=0,50/0,55/0,60 při b=1,5: výsledky 1/6, 1/4, 1/3. Potom zvlášť prověřte velikost možné ztráty a náklady.
4. Denní nebo měsíční přezkumný práh zapište jako vstup plánu. Otevřené pozice a mezery mohou překročit zamýšlenou částku.
5. Zapište důvod i okamžik změny modelu nebo vstupů. Samotný kalendářní interval je neověřuje.

Vzorec může být užitečnou pomůckou pro pochopení citlivosti. Skutečný objem musí navíc respektovat dovolené jednotky, marži a ztráty mimo idealizované větve.