Kriteria Kelly: model pertumbuhan dan batas ukuran posisi

Kriteria Kelly membahas pertumbuhan logaritmik modal jangka panjang dalam model probabilitas dan hasil yang ditentukan. Dalam trading, probabilitas serta distribusi hasil bersih harus diestimasi, sementara biaya dan kerugian di luar model tetap mungkin terjadi. Karena itu, hasil rumus dan keputusan ukuran posisi adalah dua tahap berbeda. Hitungan yang benar tidak membuktikan bahwa model cocok dengan rekening nyata.

Kelly dan tulisan tahun 1956

Makalah John L. Kelly Jr., A New Interpretation of Information Rate, terbit dalam Bell System Technical Journal Juli 1956. Tulisan itu menghubungkan informasi dan taruhan berulang dengan pertumbuhan logaritmik modal. Dalam model biner di sini, fraksi modal f menghasilkan keuntungan bersih b kali taruhan dengan probabilitas p, atau kehilangan seluruh taruhan dengan probabilitas 1 − p. Diasumsikan b > 0 dan hasil diulang dengan parameter model yang ditentukan.

g(f) = p ln(1 + b f) + (1 − p) ln(1 − f)
f* = p − (1 − p)/b

Rumus kedua adalah optimum interior fungsi pertama, bukan aturan untuk semua distribusi trading. Tujuannya nilai harapan dari logaritma perubahan modal. Jika pilihan hanya memasang taruhan positif atau tidak bertaruh, keluaran rumus negatif berarti tidak mengambil taruhan positif dalam model itu. Angka negatif bukan perintah membalik arah posisi pasar.

Membaca angka tanpa mengubah model menjadi rekomendasi

Kelly tidak memaksimalkan tingkat kemenangan, nilai harapan aritmetis kekayaan akhir, atau meminimalkan drawdown. Optimum logaritmik dalam model tertentu masih dapat disertai penurunan modal besar. Hasilnya juga tidak menjamin terhindar dari kehancuran ketika estimasi salah, biaya bertambah atau kerugian melampaui asumsi.

Rasio rata-rata kemenangan terhadap rata-rata kerugian dari jurnal tidak mengubah hasil nyata menjadi dua nilai tetap. Stop loss biasa juga tidak membuat setiap kerugian tepat satu unit taruhan. Ukuran harus diterjemahkan ke spesifikasi kontrak, biaya dan eksekusi aktual, bukan menyamakan persentase hasil rumus dengan jaminan kerugian maksimum.

Biaya mengubah kedua hasil

Diagram: fraksi taruhan dan fraksi kerugian berbeda

Gunakan model rekaan terpisah: pengulangan independen, probabilitas menang 0,50 dan kalah 0,50 diketahui tepat. Hasil kotor per unit taruhan adalah +1,50 atau −1,00. Biaya sebesar 0,10 unit taruhan dibayar pada kedua hasil. Hasil bersih menjadi +1,40 atau −1,10, bukan +1,40 atau −1,00. Satuan modal abstrak; ini bukan ketentuan broker atau pengukuran strategi.

Pada modal 1.000 dan fraksi ilustratif f = 0,10, taruhannya 100. Hasil menang bersih +140 memberi modal akhir 1.140, sedangkan hasil kalah bersih −110 menyisakan 890. Faktor modal adalah 1,14 dan 0,89. Ilustrasi f = 0,10 ini bukan nilai optimum yang baru dihitung.

g(f) = 0.50 ln(1 + 1.40 f) + 0.50 ln(1 − 1.10 f)
0 ≤ f < 1/1.10
f* = (0.50×1.40 − 0.50×1.10)/(1.40×1.10)
   = 15/154 ≈ 0.0974
kerugian maksimum model = 1.10 f* = 3/28 ≈ 10.71%

Kondisi modal positif membatasi f di bawah 1/1,10. Tanpa biaya, model p = 0,50 dengan hasil +1,50 atau −1,00 menghasilkan optimum 1/6. Sesudah biaya, optimum menjadi sekitar 9,74% taruhan dan kerugian pada cabang negatif sekitar 10,71% modal. Memotong biaya hanya dari kemenangan akan memakai fungsi yang berbeda dan memberi hasil keliru.

Kesalahan estimasi dan bentuk distribusi mengubah jawaban

Probabilitas pasar serta distribusi hasil bersih merupakan estimasi. Pengambilan sampel, perubahan kondisi dan pemilihan model dari banyak percobaan memengaruhinya. Bahkan perhitungan permainan kartu bergantung pada aturan dan pelaksanaan; jangan menganggap semua parameter praktis diketahui tanpa kesalahan. Fraksi lebih kecil tetap memerlukan pemeriksaan kemungkinan kerugian dan asumsi estimasi.

Pada model biner tetap b = 1,5, p = 0,50 menghasilkan f* = 1/6 atau sekitar 0,1667; p = 0,55 memberi 1/4 atau 0,25; p = 0,60 memberi 1/3 atau sekitar 0,3333. Selisih lima poin persentase probabilitas tidak sama dengan penambahan lima poin persentase taruhan. Ketiganya keluaran model, bukan rekomendasi yang otomatis aman.

gB(f) = 0.55 ln(1 + 1.5 f)
      + 0.35 ln(1 − f/7) + 0.10 ln(1 − 4 f)
0 ≤ f < 0.25

Turunan fungsi B nol pada f = 0,10 dan turunan keduanya negatif pada domain tersebut, sehingga itu maksimum uniknya. Optimum A adalah 0,25. Distribusi tepat yang direka ini memperlihatkan mengapa mengganti semua hasil dengan dua rata-rata dapat gagal. Ini bukan bukti bahwa 10% layak untuk pasar nyata, dan besarnya ekor kerugian nyata belum dibatasi oleh contoh.

Pemeriksaan tambahan pada half Kelly: dari optimum A 25%, setengahnya adalah 12,5%. Jika fraksi itu diterapkan pada B, cabang −4 merugikan 50% modal dalam satu hasil, bukan 12,5%. Pada quarter Kelly 6,25%, cabang yang sama merugikan 25%. Angka ini menjelaskan bahwa multiplier mengurangi taruhan, tetapi tidak memperbaiki distribusi yang salah. Semua tetap hasil model, tanpa peluang empiris kejadian di pasar.

Pada model independen lain dengan probabilitas menang 55% dan kerugian tepat 25% modal berjalan saat kalah, tiga kekalahan beruntun menyisakan 0,75³ = 42,1875% modal awal rangkaian. Drawdown-nya 57,8125%. Untuk satu blok tiga percobaan yang ditentukan sebelumnya, probabilitas semuanya kalah adalah 0,45³ = 9,1125%. Itu bukan kepastian suatu rangkaian terjadi dalam sampel terbatas.

Jendela yang tumpang tindih bukan waktu tunggu independen. Nilai harapan jumlah percobaan hingga rangkaian tiga kekalahan pertama adalah (1 − 0,45³)/(0,55 × 0,45³) ≈ 18,13, bukan kebalikan 0,45³ yang sekitar 11. Nilai harapan waktu tunggu bukan tenggat. Membalik probabilitas satu blok tidak menyelesaikan masalah keadaan dua kekalahan yang dapat berlanjut ke percobaan berikutnya.

Fractional Kelly dan keterbatasannya

Fractional Kelly mengalikan optimum model dengan fraksi yang dipilih. Jika full Kelly 25%, half Kelly menjadi 12,5% dan quarter Kelly 6,25%. Pengurangan menukar pertumbuhan logaritmik model dengan eksposur lebih rendah. Namun itu tidak secara universal membagi drawdown menjadi dua, mengorbankan tepat seperempat pertumbuhan, atau memastikan kerugian rekening dapat ditoleransi. Periksa asumsi, hasil bersih dan kesalahan estimasinya melalui dasar manajemen risiko.

Sampel historis membantu estimasi dan uji sensitivitas; jumlah minimum transaksi tidak menghasilkan multiplier aman yang diketahui. Status profesional atau kesiapan menerima drawdown 20–30% juga tidak memvalidasi distribusi masa depan. Penurunan fraksi belum menjawab kerugian di luar model, ukuran kontrak minimum atau beberapa posisi yang bergerak bersama.

Apa yang diasumsikan aturan fraksi tetap?

Aturan risiko awal terencana 1% tidak membutuhkan estimasi p dan b sekadar untuk menghitung ukuran awal. Tetapi tetap memerlukan ekuitas, jarak stop, nilai kontrak, biaya dan asumsi fill. Aturan itu tidak menciptakan ekspektasi positif atau menjamin kelangsungan rekening. Batas 1% dapat lebih besar atau lebih kecil daripada keluaran fractional Kelly tertentu.

Intervensi ESMA pada 2018 menyertakan bukti historis kerugian rekening CFD ritel Eropa. Data tersebut tidak mengisolasi ukuran posisi sebagai penyebab dan tidak membuktikan aturan tertentu mengungguli Kelly di pasar nyata. Itu konteks asing, bukan aturan ukuran posisi Indonesia.

Perlakukan 1% atau 2% sebagai batas awal pilihan dengan asumsi eksplisit. Label konservatif atau optimal tidak cukup tanpa memahami risiko rekening. Bandingkan aturan 2% dan 1% berdasarkan distribusi kerugian, eksposur gabungan dan keterbatasan pelaksanaan, bukan janji keselamatan.

Langkah latihan berikutnya

1. Definisikan sampel dan hasil bersih. Catat seluruh hasil, biaya serta pengecualian dalam jurnal trading. Periksa ketidakpastian dan apakah dua nilai hasil tetap memang sesuai latihan. Dua ratus transaksi atau jumlah lebih besar tidak menjamin keterwakilan masa depan.
2. Hitung model yang sesuai. Jangan gunakan rumus biner jika distribusi latihan memiliki kerugian tambahan seperti model B. Keluaran fractional mendekati 1% tidak membuktikan aman; keluaran lebih tinggi tidak sendirian membuktikan p terlalu optimistis.
3. Uji masukan. Ulangi p = 0,50, 0,55 dan 0,60 dengan b = 1,5, lalu bandingkan fraksi 1/6, 1/4 dan 1/3 serta kerugian yang dimodelkan. Pisahkan sensitivitas parameter dari kesalahan memilih distribusi.
4. Tulis batas peninjauan. Ambang harian atau bulanan adalah masukan rencana, bukan jaminan kerugian berhenti pada angka itu. Posisi terbuka, gap, biaya dan fill lebih buruk dapat membuat hasil berbeda.
5. Tentukan alasan peninjauan ulang. Simpan kapan parameter diperiksa, data yang dipakai serta perubahan biaya atau kondisi. Interval kalender dan jurnal yang bertambah tidak sendirian memvalidasi estimasi.