Kelly is een criterium voor langetermijn-loggroei binnen een gespecificeerd kans- en uitbetalingsmodel. Echte handel vraagt schattingen, kosten en onderzoek naar verliezen buiten dat model. Een berekende fractie is daarom geen automatisch bruikbaar ordervolume of aanbevolen rekeningrisico.

Van Kelly’s onderzoek naar een binaire formule

John L. Kelly Jr. publiceerde A New Interpretation of Information Rate in juli 1956 in het Bell System Technical Journal. Het onderzoek verbindt informatie en herhaalde inzetten met logaritmische kapitaalgroei. Het hier gebruikte binaire model wint met kans p een vaste nettowinst b maal de inzet, en verliest met kans 1−p de hele inzet. Bij b>0 is de doelfunctie g(f)=p ln(1+bf)+(1−p)ln(1−f).

Een inwendig maximum volgt uit g′(f)=0: f=p−(1−p)/b. Waarschijnlijkheden, toegestane inzetten, herbelegging en uitbetalingen horen bij die formule. Is alleen inzetten of afzien toegestaan, dan betekent een negatieve formule-uitkomst geen positieve inzet in dit model, niet automatisch een opdracht om een valutapositie om te keren.

Wat het criterium wel en niet optimaliseert

Kelly maximaliseert verwachte loggroei, niet winstpercentage, rekenkundig verwacht eindvermogen of minimale drawdown. Een optimum kan onderweg forse dalingen hebben. Een ander model met schattingsfouten, extra kosten of grotere verliezen wordt niet door de oorspronkelijke berekening beschermd.

Het fictieve binaire bronvoorbeeld heeft p=0,55 en uitkomsten+1,5 of−1 inzet. De fractie is(0,55 × 1,5−0,45)/1,5=0,25. Op 40.000 EUR is dat 10.000 EUR inzet binnen het model. Gemiddelde winsten en verliezen uit een journaal maken de werkelijke uitkomstverdeling niet binair. Een gewone stop hoeft evenmin exact het aangenomen verlies te geven. De grote fractie illustreert de gevoeligheid en is geen sizingadvies.

Kosten veranderen ook de verlieskant

Kosten aan beide kanten van de inzetOorspronkelijk abstract kapitaal 1.000, f 0,10, inzet 100; bruto+1,5 of−1 elk met kans 0,50, kosten 0,10 inzet in beide takken. Geen aanbiederprijs.REKENVOORBEELDWinsttak+1,40 inzetVerliestak−1,10 inzetModelmaximumf 15/154≈0,097403Domein0≤f<1/1,10
Kosten aan beide kanten van de inzet. Oorspronkelijk abstract kapitaal 1.000, f 0,10, inzet 100; bruto+1,5 of−1 elk met kans 0,50, kosten 0,10 inzet in beide takken. Geen aanbiederprijs.

De negatieve tak verliest 11% kapitaal, niet alleen de 10%-inzetfractie.

Winsttak
+1,40 inzet – Kapitaalfactor 1,14→1.140.
Verliestak
−1,10 inzet – Kapitaalfactor 0,89→890.
Modelmaximum
f 15/154≈0,097403 – Negatief verlies 1,10 f=3/28 kapitaal.
Domein
0≤f<1/1,10 – Positief kapitaal in beide takken.

Het oorspronkelijke abstracte kostenmodel heeft kapitaal 1.000, inzet 100 dus f=0,10, en kans 0,50 op elk van twee bruto-uitkomsten:+1,50 of−1,00 per inzet. Een vergoeding 0,10 inzet in beide takken maakt het netto+1,40 of−1,10. Bij winst resteert 1.140, bij verlies 890. De verliesfractie is 1,10 f, niet f. De gekozen 0,10 is alleen een illustratie van factoren, niet het berekende optimum.

De nieuwe functie is g(f)=0,50 ln(1+1,40 f)+0,50 ln(1−1,10 f), met 0≤f<1/1,10 voor positief kapitaal in beide takken. De afgeleide geeft f=(0,50 × 1,40−0,50 × 1,10)/(1,40 × 1,10)=15/154≈0,097403. De negatieve uitkomst kost dan 1,10 f=3/28≈10,71% van kapitaal. Zonder de kosten was het optimum 1/6. De tarieven en kansen zijn exact gekozen, geen markt- of aanbiedergegevens.

Kansschatting en verdeling veranderen de oplossing

Houd fictief b=1,5 vast. Bij p 0,50 is de fractie 1/6; bij 0,55 een kwart; bij 0,60 een derde. Het zijn geen steeds veiligere of overleefbare fracties. Een steekproefomvang maakt kansen niet exact; marktomstandigheden, selectie en kosten kunnen de uitkomsten veranderen. Ook kaarttelmodellen hebben spel- en uitvoeringsaannames, geen foutloze universele informatie.

Model A heeft+1,5 met 55% en−1 met 45%. Model B behoudt 55% op+1,5, maar heeft 35% op−1/7 en 10% op−4. De gemiddelde verliesgrootte bij een verlies in B is(0,35/7+0,10 × 4)/0,45=1. Beide modellen hebben dus dezelfde gemiddelde winnaar, gemiddelde verliezer en rekenkundige verwachting+0,375 per inzet. Toch wist f 0,25 in B het kapitaal uit bij de−4 tak.

Voor B is de juiste functie 0,55 ln(1+1,5 f)+0,35 ln(1−f/7)+0,10 ln(1−4 f), met 0≤f<0,25. Haar afgeleide is nul bij f 0,10 en de tweede afgeleide is negatief. Model A heeft optimum 0,25. Dit zijn twee exact geconstrueerde verdelingen; geen van beide is een handelsadvies. Het voorbeeld toont waarom twee gemiddelde uitbetalingen belangrijke staartinformatie verliezen.

In een apart onafhankelijk bronmodel met winstkans 55% en exact 25% verlies van actueel kapitaal geven drie verliezen 0,75³=42,1875% resterend vermogen, oftewel 57,8125% drawdown. Een vooraf aangewezen drietransactieblok is met kans 0,45³=9,1125% helemaal verliesgevend. De verwachte wachttijd tot de eerste reeks van drie verliezen is(1−0,45³)/(0,55 × 0,45³)≈18,13 transacties, niet simpel de inverse blokwaarschijnlijkheid van circa 11. Overlappende vensters zijn geen losse wachttijden; een eindige steekproef hoeft de reeks niet te bevatten.

Halve of kwart-Kelly blijft een modelkeuze

Fractionele Kelly vermenigvuldigt een benoemd optimum met een gekozen factor. Bij 25% geven half en kwart 12,5% en 6,25%. Minder inzet is in dat model minder blootstelling, maar halveert niet algemeen de drawdown, kost niet altijd exact een kwart van loggroei en maakt risico niet vanzelf draaglijk. Een paar honderd transacties, professionele status of bereidheid 20–30% drawdown te accepteren valideert geen toekomstige verdeling.

Nieuw EUR-tegenvoorbeeld: optimum overschrijdt een gekozen geldbudget

Pas uitsluitend het beschreven kostenmodel toe op een afzonderlijk fictief kapitaal 2.000 EUR. De theoretische f 15/154 geeft inzet circa 194,81 EUR. De verlieskant 1,10 maal die inzet kost circa 214,29 EUR. Beschrijft een apart persoonlijk plan een maximaal gemodelleerd geldverlies van 100 EUR, dan past dit optimum daar niet in.

Binnen dezelfde vereenvoudigde kostenregel moet de inzet hoogstens 100/1,10≈90,91 EUR zijn om die 100 EUR-modelgrens te respecteren: circa 4,5455% van kapitaal, niet 5%. Dit is een rekenkundige compatibiliteitscontrole, geen aanbeveling om die fractie te nemen. Gaten, omvangsstappen en onbekende verliezen kunnen ook deze begroting doorbreken.

Een vaste fractie is een andere beslissing

Een gekozen 1%-begroting vereist voor de initiële omvang geen Kelly-kansen, maar heeft nog equity, stopafstand, contractwaarde, kosten en uitvoering nodig. Zij creëert geen positieve verwachting en garandeert geen overleving. Een 1%- of 2%-regel kan boven of onder een bepaald fractioneel Kelly-getal liggen, zonder daarmee mathematisch optimaal te zijn.

ESMA beschreef bij de historische interventie uit 2018 verliezen bij retail-CFD-rekeningen. Die gegevens isoleren position sizing niet als oorzaak en bewijzen niet dat één sizingregel systematisch beter is. Zij zijn geen actuele individuele verlieskans of vergelijking van Kelly met 1%. Nederlandstaligheid bepaalt geen woonland; de genoemde EUR-modellen zijn afzonderlijke fictieve berekeningen.

Wat je vóór toepassing controleert

  1. Definieer steekproef, netto-uitkomsten en uitsluitingen. Beoordeel of een binair model de oefening werkelijk beschrijft; een groot journaal verwijdert schattingsfouten niet.
  2. Bereken de binaire formule alleen binnen haar voorwaarden. Een uitkomst dichtbij 1% bewijst geen veiligheid; een hoge uitkomst bewijst niet automatisch overschatte winstkans.
  3. Varieer bij b 1,5 de kans 0,50,0,55 en 0,60 en bekijk de fracties 1/6,1/4 en 1/3 én bijbehorende verliesgroottes.
  4. Leg dag- of maanddrempels en evaluatieacties apart vast. Open posities, kosten en slechtere fills kunnen een gekozen bedrag overschrijden.
  5. Registreer wanneer en waarom model of invoer opnieuw wordt beoordeeld. Een kalenderinterval alleen maakt schattingen niet valide.

Vergelijk daarna 1% of 2% risico: vergelijk de basis, drawdown en uitvoerbare omvang en Verwachtingswaarde: cash, R en procenten uit elkaar houden zonder een exact bekende toekomstige verdeling te veronderstellen.