Criterio di Kelly: costi, code e incertezza della quantità

Kelly è un criterio matematico per la crescita logaritmica sotto una distribuzione di probabilità e payoff specificata. Nel mercato quegli input vanno stimati; costi, code e possibili perdite oltre il modello richiedono verifiche proprie. Calcolare una frazione non equivale a decidere che quella quantità sia sostenibile per un conto.

Il lavoro del 1956 e l’obiettivo

John L. Kelly Jr. pubblicò A New Interpretation of Information Rate nel Bell System Technical Journal di luglio 1956. Nel particolare modello binario qui usato, una frazione f del capitale vince b volte la posta con probabilità p oppure perde una posta con probabilità 1−p. Con b positivo, massimizzare g(f)=p ln(1+bf)+(1−p)ln(1−f) dà all’ottimo interno f=p−(1−p)/b.

È crescita del logaritmo del capitale, non massimizzazione della percentuale di vittorie, ricchezza terminale attesa aritmeticamente o minimo drawdown. Se sono permesse solo posta positiva o astensione, un risultato negativo non ordina di invertire un’operazione Forex: significa nessuna posta positiva nel modello. Una distribuzione reale non diventa binaria perché nel diario hai una vincita e una perdita medie.

Numeri e significato della frazione

Ipotesi esatte inventate: p=0,55, payoff +1,5 o −1 per unità di posta. La formula dà (0,55 ×1,5−0,45)/1,5=0,25. Con 40.000 EUR significa posta 10.000 EUR dentro quel modello, non consiglio di rischiare un quarto del conto. Uno stop ordinario può realizzare perdita diversa e una stima errata cambia il problema.

Il costo cambia entrambi i rami

Altro modello originale, unità astratte: prove indipendenti, p=0,50, esiti lordi +1,50 o −1,00, costo 0,10 unità di posta in entrambi i casi. Risultati netti +1,40 o −1,10. Con capitale 1.000 e f=0,10, posta 100: si arriva a 1.140 oppure 890. f misura la posta, non la massima perdita, che è 1,10 f.

L’obiettivo corretto è g(f)=0,50 ln(1+1,40 f)+0,50 ln(1−1,10 f), con 0≤f<1/1,10 perché i capitali restino positivi. Risolvendo g′(f)=0 si ottiene (0,50 ×1,40−0,50 ×1,10)/(1,40 ×1,10)=15/154≈0,097403. La massima perdita del ramo è 1,10 f=3/28≈10,7143% del capitale. Senza costo l’ottimo sarebbe 1/6. Il valore illustrativo f=0,10 del diagramma non è l’ottimo calcolato.

Errore di stima e coda della distribuzione

A payoff fisso b=1,5, p=0,50 dà f=1/6; p=0,55 dà 1/4; p=0,60 dà 1/3. Sono uscite della formula, non tre suggerimenti di rischio. Campione più ampio, titolo professionale o esperienza non rendono esatte le probabilità future. Anche un modello di gioco richiede regole e implementazione dichiarate.

Confronto originale: A ha +1,5 con probabilità 55% e −1 con 45%. B ha +1,5 con 55%, −1/7 con 35% e −4 con 10%. In B la perdita media condizionata ai rami negativi è (0,35/7+0,10 ×4)/0,45=1. Entrambi hanno media aritmetica +0,375 per posta, ma f=0,25 azzera il capitale nel ramo −4 di B.

Per B occorre g(f)=0,55 ln(1+1,5 f)+0,35 ln(1−f/7)+0,10 ln(1−4 f), dominio 0≤f<0,25. La derivata è zero a f=0,10 e la seconda derivata negativa: ottimo 0,10 contro 0,25 di A. Le stesse medie delle vincite e perdite non autorizzano la stessa quantità. Tutte le probabilità sono inventate e note esattamente soltanto nell’esperimento.

Con ripetizioni indipendenti e perdita esatta 25% del capitale corrente, tre perdite lasciano 0,75³=42,1875%, drawdown 57,8125%. Se probabilità di perdere 0,45, un blocco specificato di tre prove è tutto negativo con probabilità 0,45³=9,1125%. Le finestre sovrapposte non sono tempi d’attesa indipendenti: attesa fino alla prima sequenza di tre perdite=(1−0,45³)/(0,55 ×0,45³)≈18,13 prove, non circa 11 ottenuto invertendo la probabilità del blocco. Nessun numero obbliga la sequenza ad apparire in un campione finito.

Nuovo controesempio EUR: costo fisso e posta minima

Conto 1.000 EUR, modello senza costo con p=0,50 e payoff +1,5/−1: ottimo teorico 1/6, posta 166,67. Introduci invece costo fisso di 2 EUR per operazione, indipendente dalla posta. A posta 100, capitale finale è 1.148 oppure 898: fattori 1,148 e 0,898. A posta 10, capitale è 1.013 oppure 988: il costo è 20% della posta, contro 2% a posta 100. Non puoi sostituire ovunque un solo costo proporzionale del 2% e dichiarare ottimo invariato. Anche l’astensione non paga quel costo nell’ipotesi: è un’alternativa distinta dalla formula applicata a f=0 come se si inviasse comunque un ordine. Questo esempio non calcola un nuovo ottimo né dimostra convenienza a negoziare.

Kelly frazionario

Metà e quarto di un ottimo 25% danno 12,5% e 6,25%. Riducono la posta in quel modello ma non dimezzano universalmente drawdown né sacrificano sempre un quarto della crescita. La distribuzione, i vincoli di quantità e l’incertezza entrano nella valutazione. Una tolleranza dichiarata a perdite 20–30% e qualche centinaio di operazioni non certificano una frazione adatta.

La regola di frazione fissa è un’altra scelta

Budget iniziale 1% o 2% evita di stimare p e b soltanto per dimensionare, ma dipende ancora da equity, stop, contratto, costi e fill. Non crea aspettativa positiva o garanzia di sopravvivenza. Può risultare maggiore o minore di un Kelly frazionario. Le evidenze storiche ESMA 2018 sulle perdite retail CFD non isolano il sizing come causa e non provano che una regola batta sistematicamente l’altra. Lingua italiana e categoria professionale non eliminano errore di stima.

Un esercizio verificabile, non un’autorizzazione al rischio

1. Definisci campione, risultati netti, esclusioni e possibili code. Né 200 operazioni né un numero superiore garantiscono rappresentatività.
2. Usa la formula binaria solo quando gli esiti del modello lo consentono; valore alto non prova da solo probabilità gonfiate e valore vicino all’1% non prova sicurezza.
3. Ripeti la sensibilità p=0,50/0,55/0,60 con b=1,5 e separa posta, massima perdita e possibile esecuzione avversa.
4. Documenta soglie giornaliere o mensili come input scelti prima, non limiti di perdita garantiti con posizioni aperte.
5. Registra perché rivedi gli input: un intervallo di calendario non valida automaticamente la stima.

Prosegui con confronto dei budget, aspettativa e gestione del rischio: separa distribuzione stimata, obiettivo matematico e importo che il conto può sostenere.