Kelly-Kriterium: Logwachstum, Kosten und Verlustverteilung

Bevor du eine Zahl in Lots überträgst, benenne das Experiment: Welche Ausgänge, Wahrscheinlichkeiten, Kosten, Kapitalfaktoren und erlaubten Einsätze gelten? Ohne diese Struktur wird aus einer präzisen Formel eine scheinbar genaue Antwort auf eine andere Frage. Für echte Trades kommen unsichere Schätzungen und mögliche Verluste außerhalb des Stopplans hinzu.

Was schrieb Kelly 1956 und was wird optimiert?

John L. Kelly Jr. veröffentlichte A New Interpretation of Information Rate im Juli 1956 im Bell System Technical Journal. Der Beitrag verbindet wiederholte Wetten und Information mit logarithmischem Kapitalwachstum. Das hier verwendete Binärmodell setzt bekannte Wahrscheinlichkeit p für Nettogewinn b je Einsatz und 1−p für Verlust genau eines Einsatzes voraus.

Der Einsatzanteil f multipliziert Kapital im Gewinn mit 1+bf, im Verlust mit 1−f. Ziel ist g(f)=p ln(1+bf)+(1−p) ln(1−f). Bei b>0 ergibt die innere Ableitungslösung f=p−(1−p)/b. Erlaubte Kapitalfaktoren müssen positiv bleiben. Ist nur Setzen oder Auslassen erlaubt und die Lösung negativ, folgt kein positiver Einsatz, keine automatische Umkehr einer Marktposition.

Das Ziel ist weder höchste Trefferquote noch maximales arithmetisches Endvermögen oder minimaler Drawdown. Auch ein korrektes Modelloptimum kann schwere Rückgänge produzieren. Unsichere Parameter, zusätzliche Gebühren oder ein größerer tatsächlicher Verlust erfordern eine andere Beurteilung.

Wie sieht das vollständige 55%-Binärbeispiel aus?

Angenommen p=0,55, jeder Gewinn ist +1,5 Einsatz und jeder Verlust −1 Einsatz. Dann f=(0,55×1,5−0,45)/1,5=0,25. Bei 40.000 EUR Kapital bedeutet das innerhalb dieses idealen Modells 10.000 EUR Einsatz. Diese große Summe ist eine Modellrechnung, keine Größenempfehlung.

Bei unverändertem b=1,5 gibt p=0,50 den Anteil 1/6≈16,67%, p=0,60 hingegen 1/3≈33,33%. Die fünf Prozentpunkte ändern die Ausgabe von 25% auf rund 33,33%, nicht auf das Doppelte. Ein höherer Wert beweist weder Eignung noch eine überschätzte Trefferquote; die Annahmen müssen separat geprüft werden.

Durchschnittsgewinn geteilt durch Durchschnittsverlust macht einzelne Tradeausgänge nicht identisch. Eine gewöhnliche Stoporder liefert zudem nicht garantiert genau einen Einsatzverlust. Journalumfang, beruflicher Status oder Kartenregeln beseitigen diese Modellunsicherheit nicht.

Warum verändern Kosten beide Kapitalfaktoren?

Das erhaltene andere Binärmodell hat p=0,50, Bruttoausgänge +1,50 und −1,00 je Einsatz sowie Kosten von 0,10 Einsatz auf beiden Seiten. Netto werden daraus +1,40 und −1,10. Bei Kapital 1.000 abstrakten Einheiten und f=0,10 ist der Einsatz 100: Endkapital beträgt 1.140 oder 890.

Nun lautet g(f)=0,5 ln(1+1,4 f)+0,5 ln(1−1,1 f), mit 0≤f<1/1,1. Die Ableitung liefert f=(0,5×1,4−0,5×1,1)/(1,4×1,1)=15/154≈0,0974026. Der Verlustanteil ist 1,1f=3/28≈10,7143%, nicht f allein. Ohne die Kosten hätte dieses p=0,50-Modell f=1/6.

Die illustrative Größe 0,10 im Diagramm ist nicht das exakte Optimum. Wer nur den Gewinnfaktor auf 1,40 ändert, den Verlust aber bei eins lässt, erhält ein anderes Modell. Feste Eurokosten statt proportionaler Einsatzkosten würden wiederum eine eigene Rechnung verlangen.

Warum reichen gleiche Durchschnittswerte nicht aus?

Modell A hat +1,5 mit 55% und −1 mit 45%; sein Optimum ist 0,25. Modell B hat +1,5 mit 55%, −1/7 mit 35% und −4 mit 10%. Die bedingte mittlere Verlusthöhe in B ist (0,35/7+0,10×4)/0,45=1. Beide haben daher dieselben positiven und negativen Mittelwerte und Erwartung +0,375 je Einsatz.

Trotzdem löscht f=0,25 im −4-Zweig von B das Kapital vollständig: 1−4×0,25=0, und der Logarithmus ist nicht endlich. Die zulässige Domäne ist 0≤f<0,25. Das richtige Ziel enthält alle drei Zweige: 0,55 ln(1+1,5f)+0,35 ln(1−f/7)+0,10 ln(1−4f).

Die Ableitung ist bei f=0,10 null und die zweite Ableitung negativ, also liegt dort das Optimum von B. Das erfundene Modellpaar erklärt den Fehler einer Reduktion auf zwei Durchschnittswerte. Weder 0,25 noch 0,10 wird damit für reale Trades empfohlen. Ein bislang nicht beobachteter Tail kann die Aussage ebenfalls ändern.

Wie unterscheiden sich Verlustblock und Wartezeit?

Im angenommenen unabhängigen Modell mit Gewinnwahrscheinlichkeit 55% und genau 25% Verlust von aktueller Kapitalbasis lassen drei Verluste 0,75 hoch 3 = 42,1875% übrig. Der Rückgang ist 57,8125%. Ein vorher bezeichnetes Dreierfenster enthält nur Verluste mit Wahrscheinlichkeit 0,45 hoch 3 = 9,1125%.

Überlappende Fenster sind keine unabhängigen Wartezeiten. Erwartete Anzahl Trades bis zur ersten Dreierverlustserie ist (1−0,45 hoch 3)/(0,55×0,45 hoch 3)≈18,1344. Das ist nicht der Kehrwert 10,9739 der Dreierblockwahrscheinlichkeit. Ein endlicher Verlauf muss weder die Serie enthalten noch genau nach 18 Trades erstmals zeigen.

Mit abhängigen Versuchen oder anderen Verlustgrößen gelten diese Resultate nicht unverändert. Es gibt hier keine tatsächlich ausgeführte Simulation mit praktisch sicherem 50%-Drawdown und keine Aussage, wie jeder Trader psychologisch reagiert.

Was verändert Half oder Quarter Kelly tatsächlich?

Fractional Kelly multipliziert ein bezeichnetes Optimum mit einem gewählten Faktor. Aus 25% werden Half 12,5% und Quarter 6,25%. Dadurch sinkt die Einsatzexposition des Modells; nicht automatisch die Drawdowntiefe um genau die Hälfte oder das Wachstum um genau ein Viertel.

Für das exakte 55%/+1,5/−1-Modell ergeben die Wahrscheinlichkeitslogarithmen bei Full etwa 0,045693, Half 0,034429 und Quarter 0,020244 je Versuch. Half erreicht hier rund 75,35% der Full-Lograte. Das ist eine gesonderte Rechenprobe, keine allgemeine Regel sämtlicher Verteilungen und keine erwartete sichere Eurowachstumsrate.

Ein größerer Datensatz ermöglicht Sensitivitätsprüfungen, kennt aber keine automatisch sichere Mindestzahl von 200 Trades. Auch die Bereitschaft, 20–30% Drawdown zu akzeptieren, bestätigt keine Verteilung. Definiere Nettoeinkünfte, ausgeschlossene Trades und Parameterunsicherheit vor dem Vergleich.

Warum ist ein EUR-Einsatz nicht automatisch eine mögliche Lotgröße?

Unsere eigene Umsetzungsprobe setzt hypothetisch 40.000 EUR Kapital, 10.000 EUR Preisverlustbudget, EUR/USD-Kontrakt 100.000 EUR je Lot, 30 Pips und konstante Konversion 1,10 USD je EUR an, ohne Kosten. Pipwert ist 10/1,10 EUR je Lot. Die reine Stopformel ergibt 36,6667 Lots, Nominal 3.666.666,67 EUR.

In einem getrennten Marginmodell mit Nominal/30 wären dafür 122.222,22 EUR nötig, mehr als das angenommene Kapital. Der mathematische Einsatz ist daher in diesem Kontomodell nicht vollständig finanzierbar. Rundung, Kosten und tatsächliche Anfangsmargin brauchen weitere Prüfung; ein Stopplan und Kelly ersetzen diese nicht.

Eine gewählte feste 1%-Regel verlangt zum Berechnen ihrer Anfangsgröße keine p-/b-Schätzung, begründet aber weder positiven Erwartungswert noch Survival. Sie kann größer oder kleiner als ein bestimmtes Fractional-Kelly-Ergebnis sein. Historische Kontoverlustanteile belegen keine Größenregel als alleinige Ursache oder empirische Überlegenheit.

Welche drei Schritte machen deinen Modellvergleich überprüfbar?

1. Definiere alle Nettoausgänge. Notiere Wahrscheinlichkeiten, Kosten, Kapitalfaktoren und mögliche Verlusttails statt lediglich zwei Journalmittelwerte. Prüfe positive Kapitaldomäne und Unsicherheit der Schätzung; eine hohe Tradezahl oder vollständige Vergangenheit macht künftige Parameter nicht exakt bekannt.
2. Rechne Sensitivität und Umsetzbarkeit getrennt. Vergleiche beispielsweise die bezeichneten p-Werte bei unverändertem b und dann veränderte Kosten beziehungsweise Tails. Übertrage einen Einsatz erst mit Stop, Pipwert, Lotraster und Margin in ein Kontomodell; eine hohe Formelzahl ist weder Empfehlung noch ausführbare Order.
3. Dokumentiere gewählte Reviews und Grenzen. Benenne Full-, Half- oder Quarter-Annahme und den Grund für erneute Prüfung von Daten oder Modell. Tages- und Monatsgrenzen sind eigene Planregeln, keine garantierten Ausführungsschranken; beschreibe offene Risiken und vermeide universelle sichere Prozent- oder Kalenderintervalle.