Kelly Kriteri — Pozisyon Büyüklüğü İçin İyi Bir Araç mı?

Kelly kriteri baştan çıkarıcıdır: sermayenin uzun vadede en hızlı büyümesi için tam olarak ne kadar riske gireceğinizi söyleyen bir formül vaat eder. Pozisyon büyüklüğü yönetiminin kutsal kâsesi gibi görünür. Doğru ortamda — kartların düzgün sayıldığı blackjack'te — Kelly gerçekten zariftir. Ancak perakende Forex'te kutsal kâse olmaktan çıkar ve hesabınızı altı ayda patlatmanın zarif bir yöntemine dönüşür. Bu yazı nedenini ve Kelly'nin ne zaman kullanmaya değer olduğunu açıklıyor.

Kelly kimdi ve 1956'da gerçekte ne yazdı

John Larry Kelly Jr., New Jersey'deki Bell Labs'ta çalışan bir fizikçiydi; birkaç yıl önce Claude Shannon'ın bilgi kuramının temellerini attığı laboratuvarın aynısında. Kelly görünüşte ilgisiz bir soruyu ele aldı: bir kişi pozitif beklenen değeri bilinen bir oyunu oynuyor ve sermayesini yeniden yatırarak tekrar tekrar oynuyorsa, varlığın en hızlı büyümesi için her seferinde sermayenin hangi oranını riske atmalı? Yanıt, Temmuz 1956'da Bell System Technical Journal'da A New Interpretation of Information Rate başlığıyla yayımlandı. Bu, risk yönetimi mantığının temelindeki beklenen değerin sermayenin logaritmasına zarif bir uygulamasıydı: Kelly, f = (bp − q) / b ifadesinin logaritmik büyüme oranını maksimize ettiğini gösterdi. Burada b kazanç/kayıp oranı, p kazanma olasılığı, q ise kaybetme olasılığıdır. Geri kalan her şey bunun sonucudur.

Kelly gerçekte neyi hedefler — sayılar üzerinden bir gezinti

İşte formülün çoğu yüzeysel okumasının yanıldığı nokta burasıdır. Kelly tek bir işlemin kazanma oranını, getirilerin aritmetik ortalamasını maksimize etmez ya da sermaye düşüşlerini (drawdown) en aza indirmez. Kelly, kazandığınız her birimi yeniden yatırdığınızı varsayarak sermayenin çok uzun bir vadedeki geometrik büyüme oranını maksimize eder. Geometrik büyüme aritmetik büyüme değildir — büyük bir kayıp, ortalama bir kazancın telafi ettiğinden çok daha sert vurur. İşte tam da bu yüzden Kelly, daha düşük iflas riski karşılığında potansiyel ortalama kazancın bir kısmından bilinçli olarak vazgeçer.

Örnek bir trader iki yıl boyunca dürüst bir işlem günlüğü tutmuş olsun. Kazanma oranı yüzde 55, ortalama kazançlar ortalama kayıpların 1,5 katı. Bunları formüle yerleştirelim: b = 1,5, p = 0,55, q = 0,45. Pay 0,55 çarpı 1,5 eksi 0,45, yani 0,825 eksi 0,45, yani 0,375 olur. Payda 1,5'tir. Bölünce 0,25 çıkar. Tam Kelly bu trader'a her işlemde hesabın dörtte birini riske atmasını söyler. 40.000 € tutarındaki bir hesapta bu, stop tetiklendiğinde 10.000 € kayıp demektir. İşte matematikçinin gülümsediği, uygulamacının ise bir bardak soğuk suya uzandığı an tam olarak budur.

Tam Kelly bir perakende trader için neden intihardır

Üç nedenle. Birincisi, Kelly p ve b'yi tam olarak bildiğinizi varsayar. Kart sayımı yapılan blackjack'te bu geçerlidir — destenin kesin tanımlı bir dağılımı vardır. Forex'te ise asla geçerli değildir. Kazanma oranınız ve kazanç/kayıp oranınız, örnekleme hatası, piyasa rejimi hatası ve çoğu zaman yalnızca kazanan varyantları farkında olmadan elde tuttuğunuz geriye dönük testlerden (backtesting) gelen iyimserlik yanlılığıyla yüklü tahminlerdir.

İkinci neden matematikseldir ve acımasız bir asimetri taşır. p'yi beş puan eksik tahmin ederseniz, formül size daha az pozisyon açmanızı söyler — biraz büyümeden vazgeçersiniz ama hayatta kalırsınız. p'yi beş puan fazla tahmin ederseniz, formül çok daha fazla riske girmenizi söyler ve sermaye düşüşleri doğrusal olmayan biçimde ölçeklenir. Küçük bir girdi hatası, felaket boyutunda bir çıktıya dönüşür.

Üçüncü neden psikolojiktir ve muhtemelen en önemlisidir. Örnek stratejimizin Monte Carlo simülasyonları, tam Kelly altında birkaç yüz işlem içinde yüzde 50'lik bir sermaye düşüşüne (drawdown) ulaşmanın pratikte kaçınılmaz olduğunu gösterir. Yüzde 50'lik bir düşüşten sonra başabaşa dönmek için sermayeyi ikiye katlamanız gerekir — „eksi elli, sonra artı elli" değil, „eksi elli, sonra artı yüz". Parası gerçekten kendisine ait olan çok az perakende trader o dibe oturmaya katlanır. En kötü günde piyasayı terk ederler. Trader olarak istatistiksel açıdan haklı, insan olarak yenik.

„Kelly'nin sistemi, uzun vadede oyuncuya diğer her bahis sisteminden daha büyük bir servet kazandıran bir bahis yöntemidir." — William Poundstone, 2005

Kesirli Kelly — bazen anlamlı olan bir uzlaşma

Tam Kelly pratikte kullanılamaz olduğundan, profesyonel dünya uzun süredir onun kesirli versiyonuyla çalışıyor. Formül değerini alıp 0,5 veya 0,25 ile çarparsınız. Bir miktar teorik büyümeyi, kökten daha düşük volatilite karşılığında takas edersiniz. Tam Kelly yüzde 25 diyorsa, çeyrek versiyon yüzde 6,25 der — bu hâlâ yüzde bir kuralından fazladır, ama sermaye düşüşleri katlanılabilir hale gelir ve gerçekçi tahmin hatası altında iflas riski bir büyüklük mertebesi düşer. Kelly'yi ciddi biçimde uygulayan ilk kişi olan Edward Thorp, Princeton Newport Partners'ta güçlü biçimde kesirli varyantlar kullandığını açıkça beyan etti.

Kesirli Kelly yalnızca üç koşulu aynı anda sağlarsanız anlamlıdır. Birincisi: farklı piyasa durumları boyunca tek bir stratejiyle en az birkaç yüz işlemlik dürüst bir geçmiş kaydınız var. İkincisi: p ve b'nizin yıllık örnekler arasında ne kadar dalgalandığını tahmin edebiliyorsunuz — yalnızca bu aralık size hangi çarpanın güvenli olduğunu söyler. Üçüncüsü: yüzde 20–30'luk sermaye düşüşlerini kabulleniyor ve maksimum sermaye düşüşünü stratejinin bir parçası olarak görüyorsunuz, vazgeçmek için bir bahane olarak değil. Perakende trader'ların çoğu bu koşulların hiçbirini sağlamaz.

Yüzde bir kuralı pratikte neden genellikle kazanır

İşte çoğu okurun beklemediği can alıcı nokta: tipik bir perakende Forex trader'ı için, klasik yüzde bir kuralı pratikte Kelly'yi sistematik olarak yener. Matematiksel olarak üstün olduğundan değil — saf teoride Kelly tanım gereği optimaldir. Kazanmasının nedeni, bir perakende trader'ın bilmediği şeylere karşı dayanıklı (robust) olmasıdır. Yüzde bir kuralı hiçbir olasılığa, istatistiksel olarak anlamlı bir örneğe, piyasa durağanlığına dair hiçbir varsayıma ihtiyaç duymaz. Yalnızca şunu söyler: sermayenin yüzde birini riske at, lot büyüklüğünü pip cinsinden stopun bu tutara denk gelmesini sağlayacak şekilde ayarla, tartışma bitti. Matematiksel olarak bu, herhangi bir makul Kelly değerinden çarpıcı biçimde daha düşüktür. Pratikte ise „beş yılı atlattım ve sermayem büyüyor" ile „hesabı yarıya indirip bıraktım" arasındaki farktır. Bu, verilerle de örtüşür: ESMA, 2018 tarihli ürün müdahalesi incelemesinde, perakende CFD (fark sözleşmesi) hesaplarının yüzde 74 ile 89'unun para kaybettiğini saptadı — bu, perakende sorununun çok temkinli değil, çok agresif pozisyon büyüklüğü olduğunu güçlü biçimde gösterir.

Farklı bir deyişle, Kelly p'yi bildiğinizi varsayar. Yüzde bir kuralı ise bilmediğinizi varsayar. İkincisi perakende gerçekliğine çok daha yakındır. Bir gün binlerce işlemlik, farklı rejimleri kapsayan bir günlükle profesyonel işleme geçerseniz, kesirli Kelly anlamlı hale gelir. O zamana kadar yüzde bir kazanır. Türkiye'de yaşayan trader'lar için ayrı ama hayati bir nokta: kaldıraçlı Forex ve CFD işlemleri SPK (Sermaye Piyasası Kurulu) ile BDDK tarafından düzenlenir; SPK ve BDDK lisansı olmayan yabancı bir aracı kurum üzerinden işlem yapmak, bireysel yatırımcılar için mevzuata aykırı olabilir veya önemli yasal ve mali riskler doğurabilir. Pozisyon büyüklüğü ne kadar disiplinli olursa olsun, bu zemin riski ayrı bir konudur.

Yarın ne yapmalı

1. İşlem günlüğünüzü açın ve en az son iki yüz pozisyondan kendi p'nizi (kazanan işlemlerin yüzdesi) ve b'nizi (ortalama kazancın ortalama kayba oranı) dürüstçe hesaplayın; örnek bundan küçükse henüz Kelly'nin hiçbir versiyonunu denemeyin — önce istatistiksel olarak anlamlı bir veri kümesi toplayın.
2. Merak için bu sayıları f = (bp − q) / b formülüne yerleştirin, ardından sonucu yüzde bir ile karşılaştırın — kesirli Kelly'niz (tam değerin yarısı veya çeyreği) yüzde bire yakın çıkıyorsa güvendesiniz; çok daha yüksekse, neredeyse kesinlikle p'nizi fazla tahmin etmişsinizdir.
3. Basit bir duyarlılık testi yapın: hesaplamayı p'yi beş yüzde puanı düşürerek tekrarlayın ve önerilen pozisyon büyüklüğünün ne kadar değiştiğini görün — sıçrama büyükse, bu, stratejinizin Kelly'ye fazla duyarlı olduğunun ve yüzde bir kuralının tek makul seçenek olarak kaldığının doğrudan kanıtıdır.
4. Bu hesaplamalardan bağımsız olarak, sert günlük ve aylık kayıp limitleri belirleyin (örneğin günde yüzde üç, ayda yüzde sekiz) ve bunları strateji dosyanıza yazın — işlem başına pozisyon büyüklüğü, risk yönetiminin yalnızca üç bıçağından biridir; yanında zaman temelli limitler ve canlı psikolojik disiplin de durur.
5. Bu hesaplamaları altı ay sonra tekrarlamak için takvime bir hatırlatıcı koyun — Kelly tek seferlik bir karar değil, piyasa verisi biriktikçe ve makro koşullar değiştikçe yeniden ayarlanması gereken bir parametredir; düzenli gözden geçirme olmadan, geçmiş p ve b'ye dayalı her pozisyon büyüklüğü sessizce gerçeği tanımlamaktan çıkar.