Kelly é um critério matemático de crescimento logarítmico sob probabilidades e resultados especificados. No mercado, esses inputs são estimativas e perdas podem exceder as do modelo. Calcular uma fração não é decidir automaticamente que esse volume é adequado a uma conta.

O objetivo apresentado em 1956

John L. Kelly Jr. publicou A New Interpretation of Information Rate em julho de 1956. A ligação entre informação e apostas repetidas utiliza logaritmo do capital. No modelo binário deste artigo, uma fração f ganha b vezes a aposta com probabilidade p ou perde a aposta com 1 −p. Maximizar g(f)=p×ln(1 +bf)+(1 −p)×ln(1 −f) dá, na solução interior, f=p−(1 −p)/b, com b positivo e probabilidades definidas. Se apenas apostar ou abster-se é permitido, resultado negativo significa não apostar uma fração positiva, não inverter automaticamente uma posição de mercado.

Crescimento logarítmico não minimiza drawdown

O objetivo não é maximizar taxa de acerto, riqueza terminal aritmética esperada ou minimizar a maior queda. Considere p 0,55, ganho+ 1,5 apostas e perda− 1. A fração completa é(0,55 × 1,5 − 0,45)/1,5 = 0,25. Em 40 000 EUR, são 10 000 EUR de aposta no modelo. A dimensão elevada serve para discutir hipóteses, não como recomendação. Médias de ganhos e perdas de um diário não tornam resultados reais binários, e um stop comum não garante perder exatamente uma aposta.

Custos alteram os dois fatores de capital

Experimento original: capital 1000 unidades, probabilidade conhecida 0,50 para cada resultado bruto+ 1,50 ou− 1 por unidade apostada. Custo 0,10 em ambos dá líquidos+ 1,40 e− 1,10. A f 0,10, a aposta 100 rende+ 140 ou− 110; capital final 1140 ou 890. f é aposta, não fração máxima de perda. O domínio de capital positivo é 0≤f<1/1,10.

Custos nos dois ramosCapital 1000; f 0,10; p 0,50; resultados brutos+ 1,5/− 1; custo 0,1 por aposta em ambos.EXEMPLO DE CÁLCULOGanho líquido+ 1,40 apostasPerda líquida− 1,10 apostasÓtimo do modelo15/154≈0,0974
Custos nos dois ramos. Capital 1000; f 0,10; p 0,50; resultados brutos+ 1,5/− 1; custo 0,1 por aposta em ambos.

A perda líquida é 11% do capital, não 10%.

Ganho líquido
+ 1,40 apostas – Capital 1140.
Perda líquida
− 1,10 apostas – Capital 890.
Ótimo do modelo
15/154≈0,0974 – f 0,10 ilustra fatores, não o ótimo exato.

A função é g(f)= 0,5 ln(1 + 1,4 f)+ 0,5 ln(1 − 1,1 f). A derivada nula dá f=(0,5 × 1,4 − 0,5 × 1,1)/(1,4 × 1,1)= 15/154≈0,0974. A perda máxima do modelo é 1,1 f= 3/28≈10,71% do capital. Sem custo, o ótimo seria 1/6. Uma taxa não reduz só o ganho: aumenta também o ramo de perda e muda a fórmula adequada.

Caso adicional EUR com as mesmas hipóteses: capital 5000 EUR e f 0,10 dão aposta 500, ganho 700 ou perda 550; finais 5700 ou 4450. Reservar só 500 como pior perda ignora 50 de custo. Os valores são didáticos, sem contrato de intermediário ou frequência histórica atribuída.

Estimativa e cauda podem mudar o ótimo

Com b 1,5 fixo, p 0,50 dá 1/6; p 0,55 dá 1/4; p 0,60 dá 1/3. Não são frações de segurança. Seleção de amostra, mudança de regime, dependência e custos alteram o modelo; mesmo noutros jogos, regras e implementação importam. Mais observações não tornam a probabilidade conhecida sem erro.

Compare duas distribuições inventadas com médias iguais de ganhos e perdas. A: + 1,5 com 55% e− 1 com 45%; ótimo 0,25. B: + 1,5 com 55%,− 1/7 com 35% e− 4 com 10%. A perda média condicional de B=(0,35/7 + 0,10 × 4)/0,45 = 1; ambas têm média+ 0,375 por aposta. Contudo, f 0,25 anula o capital no ramo− 4 de B. A função correta de B é 0,55 ln(1 + 1,5 f)+ 0,35 ln(1 −f/7)+ 0,10 ln(1 − 4 f), domínio 0≤f<0,25. Tem derivada zero a 0,10 e segunda derivada negativa. Substituir toda a distribuição por duas médias falha.

No modelo independente de 55% de ganhos e perdas exatas 25% do capital atual, três perdas deixam 0,75³= 42,1875%, drawdown 57,8125%. Um bloco específico de três ser todo perdedor tem probabilidade 0,45³= 9,1125%. A espera média até à primeira sequência de três perdas é(1 − 0,45³)/(0,55 × 0,45³)≈18,13 ensaios, não o inverso dessa probabilidade. Blocos sobrepostos não são tempos de espera independentes; uma amostra finita pode não conter a sequência.

Kelly fracionário continua a ser uma escolha de modelo

Meia ou quarto de Kelly multiplicam o ótimo por 0,5 ou 0,25: se 25%, resultam 12,5% e 6,25%. Reduzir exposição troca crescimento logarítmico modelado e risco, mas não reduz universalmente drawdown a metade, nem custa exatamente um quarto do crescimento em qualquer distribuição. Relações de aproximações contínuas não se transplantam para todo o histórico de trading. Não há um número de negócios ou tolerância declarada 20–30% que valide a escolha.

Fração fixa não precisa de estimar p, mas não cria vantagem

Uma regra de orçamento inicial 1% dispensa estimar p e b para calcular esse orçamento. Ainda exige capital, stop, valor convertido, custos e execução; não garante sobrevivência ou expectativa positiva. Estatísticas históricas ESMA sobre contas CFD perdedoras não isolam dimensionamento como causa e não provam que 1% vença Kelly. A fração fixa pode ser maior ou menor que determinada Kelly fracionária. Estatuto profissional e diário grande não eliminam incerteza.

Verificar antes de usar uma saída da fórmula

  • Defina amostra, resultados líquidos e exclusões; verifique se a distribuição binária descreve realmente o exercício.
  • Teste sensibilidade de p 0,50/0,55/0,60 a b 1,5, e examine também caudas e custos, não só médias.
  • Registe quando inputs e modelo são revistos e a razão; calendário não certifica estimativas.
  • Documente limiares de revisão sem os tratar como travões garantidos durante gaps ou posições abertas.

Continue em 1%ou 2%: comparar primeiro a base e o orçamento para comparar orçamentos sem assumir probabilidades conhecidas. Tamanho da posição, Valor esperado (expectativa matemática) e Drawdown — queda a partir de um máximo são inputs e diagnósticos distintos.