ケリー基準——ポジションサイジングの良いツールなのか?

ケリー基準は魅力的です。長期的に資金が最も速く増えるよう、いくらを賭けるべきかを正確に教えてくれると約束する数式だからです。ポジションサイジングの聖杯のように聞こえます。正しい環境——きちんとカウンティングされたブラックジャック——では、ケリーは美しい。しかし個人投資家のForexでは、聖杯であることをやめ、半年で口座を吹き飛ばすための優雅な方法へと姿を変えます。本記事では、なぜそうなるのか、そしてケリーが使う価値を持つのはどんなときかを解説します。

ケリーは何者で、1956年に実際に何を書いたのか

John Larry Kelly Jr. は、ニュージャージー州のBell Labsに在籍した物理学者でした。数年前にClaude Shannonが情報理論の基礎を築いたのと同じ研究所です。Kellyは一見無関係に見える問いに取り組みました。既知の正の期待値を持つゲームを、資金を再投資しながら繰り返しプレイするとき、富が最も速く増えるためには毎回いくらの割合を賭けるべきか、という問いです。その答えは、1956年7月のBell System Technical Journalに、A New Interpretation of Information Rateという題で現れました。それはリスク管理の核心にある期待値を、資金の対数に応用した優雅な仕事でした。Kellyは f = (bp − q) / b が対数成長率を最大化することを示したのです。ここで b は勝ち負けの比率、p は勝つ確率、q は負ける確率です。あとはすべて、ここから導かれる帰結にすぎません。

ケリーが本当に最大化するもの——数値で追う

ここが、この数式の通俗的な読み方がほぼ必ず誤るところです。ケリーは単一トレードの勝率も、リターンの算術平均も最大化しませんし、ドローダウンを最小化するわけでもありません。ケリーが最大化するのは、すべての利益を再投資すると仮定したうえでの非常に長い時間軸における資金の幾何成長率です。幾何成長は算術成長とは違います。一度の大きな損失は、平均的な勝ちトレードが埋め合わせる以上にはるかに重くのしかかります。だからこそケリーは、破産リスクを下げる見返りとして、潜在的な平均利益の一部をあえて手放すのです。

ある例示的なトレーダーが、2年間にわたり正直なトレード記録（トレードジャーナル）をつけてきたとします。勝率は55パーセント、平均的な勝ちは平均的な負けの1.5倍です。これを数式に入れてみましょう。b は1.5、p は0.55、q は0.45です。分子は 0.55 × 1.5 − 0.45、すなわち0.825から0.45を引いて0.375になります。分母は1.5です。割ると0.25が出ます。フルケリーは、このトレーダーに対し、毎回のトレードで口座の4分の1をリスクにさらせと告げているのです。40,000 EURの口座なら、損切り（ストップロス）に達したとき10,000 EURの損失を意味します。数学者が微笑み、実務家が冷たい水のグラスに手を伸ばす瞬間です。

なぜフルケリーは個人トレーダーにとって自殺行為なのか

三つの理由があります。第一に、ケリーはあなたが p と b を正確に知っていると仮定します。カウンティングされたブラックジャックではこれが成り立ちます。デッキの分布は厳密に定義されているからです。Forexでは、決して成り立ちません。あなたの勝率と勝ち負けの比率は、数百回のトレードから得た推定値であり、標本誤差、レジーム（相場局面）の変化による誤差、そしてしばしば、勝ったバリアントだけを無意識に残してしまうバックテストの楽観バイアスを抱えています。

第二の理由は数学的なもので、残酷な非対称性を伴います。もし p を5ポイント過小評価すれば、数式はより少なく賭けよと告げます——成長の一部を諦めるものの、生き延びます。逆に p を5ポイント過大評価すれば、数式ははるかに多く賭けよと告げ、ドローダウンは非線形に拡大します。わずかな入力の誤差が、破滅的な出力へと変わるのです。

第三の理由は心理的なもので、おそらく最も重要です。この例題戦略のモンテカルロ・シミュレーションは、フルケリーのもとでは数百回のトレード以内に50パーセントのドローダウンに達することが実質的に確実であることを示します。50パーセントのドローダウンのあとでは、損益分岐点に戻すために資金を倍にしなければなりません。「マイナス50、それからプラス50」ではなく、「マイナス50、それからプラス100」なのです。本当に自分のお金を動かしている個人トレーダーで、その底に座り続けられる人はごくわずかです。彼らは最悪のタイミングでやめてしまいます。トレーダーとしては統計的に正しく、人間としては敗れているのです。

「ケリーのシステムは、長期的には他のいかなる賭け方よりも大きな富をプレイヤーにもたらす賭け方である。」 — William Poundstone, Fortune’s Formula, Hill and Wang, 2005

フラクショナル・ケリー——ときに理にかなう妥協

フルケリーは実質的に使い物にならないため、プロの世界は長らくその分数版を用いてきました。数式の値を取り、0.5や0.25を掛けるのです。理論上の成長の一部を、劇的に低いボラティリティと引き換えにします。フルケリーが25パーセントと告げたなら、4分の1版は6.25パーセントになります——それでも1パーセントルールより大きいものの、ドローダウンは耐えられる範囲になり、現実的な推定誤差のもとでの破産リスクは桁違いに下がります。ケリーの最初の本格的な実務家であるEdward Thorpは、Princeton Newport Partnersで強く分数化したバリアントを用いていたことを公に明らかにしました。

フラクショナル・ケリーが意味を持つのは、三つの条件を同時に満たす場合だけです。第一に、異なる相場局面をまたぐ単一戦略について、少なくとも数百回のトレードという正直な実績がある。第二に、自分の p と b が年ごとの標本のあいだでどれだけ揺れるかを推定できる——その揺れの幅だけが、どの乗数が安全かを教えてくれます。第三に、20〜30パーセントのドローダウンを受け入れ、最大ドローダウンを、やめる口実ではなく戦略の一部として扱える。ほとんどの個人トレーダーは、これらの条件をひとつも満たしません。

なぜ1パーセントルールがたいてい勝つのか

ここで、多くの読者が予想しないオチが来ます。典型的な個人Forexトレーダーにとって、古典的な1パーセントルールは実践においてケリーを体系的に打ち負かします。数学的に優れているからではありません——純粋な理論では、ケリーは定義上、最適です。1パーセントルールが勝つのは、それが個人トレーダーが知り得ないことに対して頑健（ロバスト）だからです。1パーセントルールは確率も、統計的に有意な標本も、相場の定常性に関する仮定も必要としません。それはただこう言います。資金の1パーセントをリスクにさらし、損切り幅（pip）がその金額に一致するようにロットを決めよ、議論は以上、と。数学的には、これはあらゆる妥当なケリーよりも劇的に小さい値です。実践では、それは「5年生き延びて資金が増えている」と「口座を半分にしてやめた」の違いになります。これはデータともよく合致します。ESMAは2018年の商品介入レビューにおいて、個人のCFD口座の74〜89パーセントが損失を出していることを明らかにしました——個人投資家の問題は、サイジングが保守的すぎることではなく、攻撃的すぎることだと強く示唆しています。

言い換えれば、ケリーはあなたが p を知っていると仮定します。1パーセントルールは、あなたが知らないと仮定します。後者のほうが、個人投資家の現実にはるかに近いのです。いつかあなたが、異なるレジームをまたぐ数千回のトレード記録を携えてプロのトレーディングへ踏み込むなら、そのときフラクショナル・ケリーは理にかなうものになります。それまでは、1パーセントが勝ちます。一部の個人トレーダーは、2パーセントルールと1パーセントルールの比較を好んで議論しますが——どちらもなおしっかりと保守的な領域にあり、フルケリーをはるかに下回ります。

今すぐやるべきこと

1. 自分のトレード記録を開き、少なくとも直近200回のポジションから、自分の p（勝ちトレードの割合）と b（平均的な勝ちと平均的な負けの比率）を正直に計算してください。標本がそれより小さいなら、まだケリーのどのバージョンも試さず、まずは統計的に意味のあるデータセットを集めることに専念しましょう。
2. それらの数値を自分の好奇心のために数式 f = (bp − q) / b に入れ、結果を1パーセントと比べてください。フラクショナル・ケリー（フル値の半分または4分の1）が1パーセント近くに着地すれば安全ですが、はるかに大きいなら、あなたはほぼ確実に p を過大評価しています。
3. 簡単な感度テストを実行してください。p を5ポイント下げて計算を繰り返し、推奨されるサイジングがどれだけ変わるかを見ます。跳ね上がりが大きければ、それはあなたの戦略がケリーに敏感すぎるという直接の証拠であり、1パーセントルールが唯一の妥当な選択肢であり続けます。
4. これらの計算とは独立に、1日・1か月の厳格な損失上限（たとえば1日3パーセント、1か月8パーセント)を設定し、戦略ファイルに書き込んでください。トレードごとのサイジングは、時間ベースの上限やリアルタイムの心理的規律と並ぶ、リスク管理の三枚刃のひとつにすぎません。
5. 半年後にこれらの計算を繰り返すリマインダーをカレンダーに入れてください。ケリーは一度きりの決定ではなく、相場データが蓄積しマクロ環境が変化するにつれて再較正を要するパラメータです。定期的な見直しがなければ、過去の p と b にもとづくいかなるサイジングも、静かに現実を描写しなくなっていきます。