Criteriul Kelly: model de creștere, fără volum garantat sigur

Kelly este un criteriu matematic pentru creșterea logaritmică pe termen lung, sub un model precizat de probabilități și plăți. În tranzacționare trebuie să estimezi inputurile și să verifici costuri ori pierderi în afara modelului. Calculul unei fracții binare și alegerea unui volum de piață sunt decizii diferite.

Cine a fost Kelly și ce a publicat în 1956?

Lucrarea lui John L. Kelly Jr., A New Interpretation of Information Rate, a apărut în Bell System Technical Journal în iulie 1956. Leagă pariurile repetate și informația de creșterea logaritmică a capitalului. Modelul binar folosit aici presupune că fracția f câștigă net b ori miza cu probabilitate p sau pierde întreaga miză cu probabilitate 1 − p.

Maximizarea g(f) = p ln(1 + bf) + (1 − p) ln(1 − f) dă, la un optim interior, f = p − (1 − p)/b, cu b pozitiv și probabilități precizate. Este media logaritmului capitalului, fără a fi media profitului monetar. Dacă opțiunile sunt numai miză pozitivă sau abținere, un rezultat negativ al formulei înseamnă lipsa unei mize pozitive în acel model; nu este instrucțiune să inversezi o poziție Forex.

Ce maximizează și cum arată cifrele?

Criteriul nu maximizează rata câștigurilor, averea finală medie aritmetic și nici nu minimizează drawdown-ul. Miza optimă a modelului poate produce scăderi severe. Erorile de estimare, costuri suplimentare ori pierderi mai mari cer altă analiză; formula singură nu garantează evitarea ruinei într-un alt model.

Exemplu ideal: p = 0,55, câștig +1,5 și pierdere −1 per unitate mizată. Rezultă f = (0,55 × 1,5 − 0,45)/1,5 = 0,25. Cu 40 000 EUR, miza matematică este 10 000 EUR. Nu este recomandare de volum. Raportul dintre câștigul și pierderea medie din jurnal nu transformă rezultatele reale în numai două rezultate fixe; stopul obișnuit poate pierde mai mult decât unitatea presupusă.

Costurile schimbă și ramura pierzătoare

Taxa scăzută din ambele rezultate modifică ambii factori ai capitalului. Formula care presupune pierdere de o unitate nu mai descrie modelul.

Model complet fictiv, cu repetiții independente și p = 0,50 cunoscut: rezultate brute +1,50 sau −1,00 per unitate de miză; cost 0,10 în ambele ramuri. Netul devine +1,40 sau −1,10. f este fracția mizată, fără a fi fracția maximă pierdută. Unitățile capitalului sunt abstracte; nu sunt condiții de broker sau estimări de strategie.

La f = 0,10, din capital 1 000 mizezi 100. Capitalul final este 1 000 × 1,14 = 1 140 sau 1 000 × 0,89 = 890. Alegerea ilustrează factorii, fără a fi optimul calculat. Obiectivul corect este 0,50 ln(1 + 1,40f) + 0,50 ln(1 − 1,10f), pentru 0 ≤ f < 1/1,10.

Din derivata egală cu zero rezultă f = (0,50 × 1,40 − 0,50 × 1,10)/(1,40 × 1,10) = 15/154 ≈ 0,0974. Pierderea maximă din acest model este 1,10f = 3/28 ≈ 10,71% din capital. Fără cost, optimul ar fi 1/6. Toți parametrii sunt inventați și exact cunoscuți aici; nu sunt miză recomandată pe piață.

Ce schimbă estimarea și distribuția rezultatelor?

Probabilitățile și distribuțiile nete de piață sunt estimări. Numărul de tranzacții nu le face exacte. Eșantionarea, schimbarea condițiilor și alegerea modelului le pot modifica. Chiar un calcul de numărare a cărților depinde de reguli și implementare, fără permisiunea de a declara toate inputurile perfecte. O miză redusă cere în continuare verificarea pierderilor posibile.

Cu b fix la 1,5, p = 0,50, 0,55 și 0,60 dau f = 1/6, 1/4 și 1/3. Acestea sunt rezultate de formulă, fără fracții sigure sau promisiuni de supraviețuire. Schimbarea distribuției poate modifica optimul chiar cu aceleași medii ale câștigătorilor și pierzătorilor.

Model A: +1,5 cu probabilitate 55% și −1 cu 45%. Model B: +1,5 cu 55%, −1/7 cu 35% și −4 cu 10%. În B, pierderea medie condiționată este (0,35/7 + 0,10 × 4)/0,45 = 1. Ambele medii generale sunt +0,375 per unitate mizată. Totuși, f = 0,25 lasă zero capital în ramura −4 a modelului B.

Obiectivul B este 0,55 ln(1 + 1,5f) + 0,35 ln(1 − f/7) + 0,10 ln(1 − 4f), cu 0 ≤ f < 0,25. Derivata se anulează la f = 0,10, iar derivata a doua este negativă. A are optim 0,25. Distribuțiile sunt inventate, nu recomandări; înlocuirea tuturor rezultatelor cu două medii poate pierde informația cozii.

În alt model independent cu p = 55% și pierderi exacte de 25% din capitalul curent, trei pierderi lasă 0,75³ = 42,1875%, scădere 57,8125%. Un bloc precis de trei încercări este integral pierzător cu probabilitate 0,45³ = 9,1125%. Timpul mediu până la prima serie de trei pierderi este (1 − 0,45³)/(0,55 × 0,45³) ≈ 18,13 încercări. Nu este inversul probabilității, circa 11. Ferestrele se suprapun și un eșantion finit nu trebuie să conțină seria.

Test RON: o opțiune de abținere după costul fix

Model nou separat: capital 20 000 RON, două rezultate brute pe unitate de miză, +1,01 sau −1, fiecare cu probabilitate exactă 50%. Fiecare operație executată costă o taxă fixă inventată de 100 RON, indiferent de miză. Abținerea nu costă. Nu este tarif de broker, randament de piață ori probabilitate estimată din date reale.

La f = 0,10 mizezi 2 000 RON. Bruto, rezultatele sunt +2 020 și −2 000, media +10 RON. După taxă, sunt +1 920 și −2 100, media −90 RON. Pentru orice f cu capital strict pozitiv în ramura pierzătoare, 0 < f < 0,995, media netă este 100f − 100 RON, deci negativă.

Și obiectivul logaritmic rămâne negativ: media logaritmilor factorilor nu poate depăși logaritmul factorului mediu, care aici este sub 1. Abținerea are creștere logaritmică zero și domină orice miză pozitivă din acest model. Reducerea mizei nu elimină taxa fixă. Testează costul potrivit contractului și opțiunea de a nu tranzacționa înainte să interpretezi un Kelly brut pozitiv drept permisiune.

Ce înseamnă Kelly fracționat?

Înmulțești optimul modelului cu o fracție aleasă. Pentru 25%, jumătate înseamnă 12,5%, sfertul 6,25%. Reduci expunerea în schimbul unei alte creșteri logaritmice modelate. Nu înseamnă universal drawdown înjumătățit, exact un sfert din creștere pierdut ori risc suportabil pe contul real.

Eșantionul susține estimarea și sensibilitatea, fără multiplicator sigur cunoscut. Nici câteva sute de tranzacții, statutul profesional sau toleranța declarată la 20–30% drawdown nu validează distribuția viitoare. Verifică rezultatele nete și pierderile posibile în afara modelului. Vezi gestionarea riscului.

Ce presupune o fracție fixă și ce nu presupune?

Un buget ales de 1% risc inițial planificat nu cere probabilitate Kelly pentru calculul volumului. Nu demonstrează însă avantaj sau supraviețuire. Datele istorice retail CFD citate de ESMA în 2018 nu izolează volumul drept cauză și nu dovedesc superioritatea sistematică a unei reguli.

Tratează 1% sau 2% drept limită aleasă cu ipoteze de execuție, fără optim matematic sau conservatorism automat pentru orice cont. Un jurnal mare ori statutul profesional nu elimină eroarea de estimare. Compară regulile de 1% și 2% și speranța matematică.

Ce verifici înainte să folosești calculul?

1. Definește eșantionul și netul. Rezultate, excluderi și incertitudine; nici 200 de tranzacții sau mai multe nu garantează reprezentativitatea viitorului. Jurnalul păstrează dovezile, fără probabilități perfecte.
2. Verifică modelul binar. Calculează formula numai dacă plățile presupuse corespund exercițiului. O fracție apropiată de 1% nu dovedește siguranța; una mare nu demonstrează singură p supraestimat.
3. Testează sensibilitatea. La b = 1,5, p 0,50/0,55/0,60 dau 1/6, 1/4, 1/3. Compară și dimensiunile pierderilor, fără concluzia că altă regulă este singura rezonabilă.
4. Scrie pragurile de revizuire. Zilnice sau lunare, sunt inputuri ale planului, fără pierdere oprită garantat acolo prin gap, costuri sau fill mai slab.
5. Documentează revizuirea. Când și de ce schimbi inputul ori modelul. Calendarul singur și jurnalul acumulat nu înlătură incertitudinea viitorului; urmărește drawdown-ul și volumul separat.