Математическое ожидание — действительно ли ваша стратегия зарабатывает?

Большинство новичков судят о торговой стратегии по одному числу — проценту прибыльных сделок. «У меня семьдесят процентов удачных сделок, значит система работает» — типичное хвастовство на форумах. Беда в том, что процент прибыльных сделок сам по себе ничего не говорит о том, действительно ли растёт капитал. Стратегия с семидесятипроцентной долей прибыльных сделок может стабильно терять деньги, а стратегия с тридцатипроцентной долей — наращивать их. Различает эти два случая единственное число под названием математическое ожидание — средняя прибыль или убыток, который приносит одна сделка после того, как сложены все выигрыши и все убытки. Эта статья объясняет, что такое математическое ожидание на самом деле, как его вычислить и почему именно оно, а не сырая точность, определяет долгосрочную прибыльность.

Что такое математическое ожидание на самом деле

Математическое ожидание — это средняя прибыль или убыток, который приносит одна сделка на длинной дистанции, измеренный на выборке не менее ста сделок. Формула математически проста и укладывается в одно предложение: математическое ожидание равно вероятности выигрыша, умноженной на средний выигрыш, минус вероятность проигрыша, умноженная на средний убыток. Результат — конкретная сумма денег: «каждая сделка приносит в среднем около пятидесяти евро» или «каждая сделка теряет в среднем около восьми евро».

Процент прибыльных сделок сам по себе ничего не говорит о прибыльности, пока вы не узнаете соотношение между средним выигрышем и средним убытком. Трейдер с семью прибыльными сделками из каждых десяти, но со средним убытком втрое больше среднего выигрыша, теряет деньги так же неизбежно, как тот, кто открывает позиции наугад. Сто сделок — выборка достаточно большая, чтобы краткосрочные колебания взаимно погасились, оставив за собой чистую арифметику. Всё сводится к одному числу, которое объединяет обе составляющие в одну десятичную дробь.

Почему процент прибыльных сделок сам по себе может вводить в заблуждение

Понятнее всего это видно при сравнении трёх гипотетических стратегий с разными сочетаниями доли удачных сделок и среднего соотношения выигрыша к убытку. Будем считать, что все три работают на одном и том же счёте в десять тысяч евро и торгуют одну и ту же пару EUR/USD.

Вывод предельно контринтуитивен. Семидесятипроцентная доля прибыльных сделок звучит впечатляюще в рекламных текстах, но когда средний убыток вдвое больше среднего выигрыша, пять евро на сделку — пограничное число, которое операционные издержки съедают за первые же недели. Именно поэтому опытные трейдеры не спрашивают новичка про процент прибыльных сделок — они спрашивают про математическое ожидание. Подробнее о том, как выстроить системное преимущество, рассказано в сопутствующем материале о поиске торгового преимущества; более развёрнутое изложение связанного понятия — в статье глоссария ForexMechanics о соотношении риска к прибыли.

R-кратные — универсальная мерка Ван Тарпа

У выражения математического ожидания в евро или долларах есть один недостаток — результат зависит от размера счёта. Трейдер с пятью тысячами евро и трейдер с пятьюстами тысячами евро могут вести одну и ту же стратегию, и всё же их математические ожидания в деньгах будут различаться в сто раз. Чтобы обойти это, Ван Тарп в своей книге Trade Your Way to Financial Freedom ввёл понятие R-кратного — единицы риска на сделку. Один R равен сумме, которой вы рискуете в одной позиции, обычно одному или двум процентам капитала. Формула математического ожидания в R-кратных выглядит точно так же, как формула в деньгах, за исключением того, что средние значения теперь выражены в R, а не в евро.

Конкретный гипотетический пример: стратегия с пятидесятипроцентной долей прибыльных сделок, средним выигрышем два R и средним убытком один R. Половина от двух R даёт один R статистической прибыли, половина от одного R даёт половину R статистического убытка. Разница составляет половину R на сделку — каждая позиция приносит в среднем половину единицы риска. Это число не зависит от размера счёта. Как разумно задать размер одного R, описано в сопутствующем материале о правиле одного процента в определении размера позиции.

«Математическое ожидание говорит вам, сколько вы в среднем заработаете на каждый рискуемый доллар на длинной дистанции. Нет ничего более важного, что вы можете узнать о своей стратегии из своего торгового журнала». — Ван К. Тарп, Trade Your Way to Financial Freedom, McGraw-Hill, 2007.

Пороги математического ожидания — что означает каждое число на практике

Формула сама по себе не отвечает на вопрос, является ли тот или иной результат отличным, посредственным или провальным. В отрасли сложился довольно устойчивый набор порогов для математического ожидания, выраженного в R-кратных.

Для сравнения: даже легендарный фонд Medallion компании Renaissance Technologies исторически работал в районе ноль целых четыре десятых R математического ожидания — применённое с огромным капиталом на тысячах сделок в день, это даёт многодесятилетнюю годовую доходность в десятки процентов. Розничному трейдеру, работающему с меньшей частотой и более высокими удельными издержками, следует стремиться как минимум к ноль целых три десятых R; ниже этой границы издержки начинают съедать статистическое преимущество быстрее, чем стратегия успевает его наработать. С этим связан вопрос о максимальной просадке — даже система со здоровым математическим ожиданием проходит через периодические падения капитала, которые должны быть переносимы как психологически, так и финансово.

Честная оговорка — чего математическое ожидание не обещает

Весь изложенный выше подход опирается на одно допущение, которое рынки не гарантируют: что распределение выигрышей и убытков, наблюдавшееся в прошлом, будет в целом похожим в будущем. Математическое ожидание, рассчитанное по последним ста сделкам, является хорошей экстраполяцией лишь до тех пор, пока рыночный режим остаётся неизменным — пока волатильность, корреляции между парами и профиль спреда вашего брокера остаются в одном и том же диапазоне. На практике режимы регулярно меняются. Долгая фаза низкой волатильности уступает место турбулентности, корреляции рушатся за одну неделю, брокеры повышают комиссии. Поэтому опытные трейдеры пересчитывают математическое ожидание каждые несколько десятков сделок и расценивают резкое падение как сигнал, что стратегию пора пересмотреть. Практические инструменты собраны в руководстве по торговой статистике и ключевым метрикам.

Размер выборки — когда рассчитанное математическое ожидание становится надёжным

Математическое ожидание, рассчитанное по десяти сделкам, не имеет ровно никакой диагностической ценности. Десять результатов — выборка настолько мала, что чистая удача способна породить серию из девяти выигрышей из десяти.

• Тридцать сделок дают первое грубое представление, но с доверительным интервалом порядка плюс-минус пятьдесят процентов — рассчитанное математическое ожидание 0,3R на деле может оказаться чем угодно между 0,15R и 0,45R.
• Сто сделок образуют первую надёжную базу для выводов. Доверительный интервал сужается примерно до плюс-минус двадцати процентов.
• Пятьсот сделок сужают доверительный интервал до примерно плюс-минус восьми процентов — это размер выборки, при котором профессиональные трейдеры принимают стратегические решения о наращивании капитала.
• Тысяча сделок и более снижают погрешность примерно до плюс-минус пяти процентов — это позволяет сравнивать стратегии с хирургической точностью.

Практический вывод однозначен. Никогда не увеличивайте размер позиции и не вкладывайте свежий капитал в стратегию, математическое ожидание которой вы рассчитали менее чем по ста сделкам. Новички попадают в эту ловушку неустанно: после десяти выигрышей подряд они поднимают плечо, переходят с демо на реальный счёт, добавляют капитал, а затем теряют всё это на первой серьёзной серии убытков. Более широкий подход к управлению риском на подобных порогах изложен в сопутствующем руководстве по основам управления риском.

Что сделать завтра

Теория ясна, но её реальная ценность проявляется лишь тогда, когда вы переносите её в собственный журнал. Ниже — четыре конкретных шага, которые стоит сделать в ближайшую неделю, чтобы перейти от вопроса «действительно ли моя стратегия зарабатывает?» к численному ответу, выраженному в R-кратных.

1. Откройте свой торговый журнал и выберите последние сто закрытых позиций. Если их у вас меньше, первый вывод уже готов: вы собираете недостаточно данных, чтобы что-либо оценивать. Аккуратно посчитайте четыре числа — сколько сделок были прибыльными, сколько убыточными, что в среднем принесла прибыльная сделка, во что в среднем обошлась убыточная — и подставьте их прямо в формулу.
2. Переведите результат в R-кратные. Сложите суммы, которыми вы рисковали в каждой сделке, разделите на число позиций — и вы получите среднее значение одного R за этот период. Затем выразите средний выигрыш и средний убыток в R, а не в евро, и пересчитайте математическое ожидание в этой единице. Число в R сопоставимо между счетами и между периодами так, как число в евро просто не может быть.
3. Сравните результат с приведёнными выше порогами и примите одно конкретное решение. Если математическое ожидание ниже нуля, прекратите торговлю на реальном счёте и вернитесь на демо-счёт или к бумажному бэктесту на исторических данных. Если оно находится между нулём и 0,1R, работайте над отбором сетапов или снижайте частоту, а не наращивайте объём. Только когда математическое ожидание превысит 0,3R, стоит осторожно подумать о наращивании капитала.
4. Добавьте в журнал постоянное напоминание пересчитывать математическое ожидание каждые пятьдесят сделок. Рыночные режимы дрейфуют достаточно, чтобы однажды рассчитанное число потеряло смысл в течение нескольких месяцев. Регулярный пересчёт позволяет рано заметить момент, когда стратегия перестаёт работать в новых условиях, прежде чем череда убытков съест значимую долю вашего капитала.

Дополнительное чтение: основы управления риском для трейдера — системный подход, в который встраивается математическое ожидание; правило одного процента — как задать размер одного R относительно счёта; торговая статистика на практике — какие метрики следует пересчитывать вместе с математическим ожиданием.