Критерий Келли: модель ставки, затраты и ошибки оценки

Критерий Келли — математический критерий долгосрочного логарифмического роста в заданной вероятностной модели выплат. В торговле параметры оцениваются с ошибкой, а затраты и возможные потери могут выходить за пределы модели. Ниже расчет модельной ставки отделен от решения о реальном размере позиции.

Что описывает работа 1956 года

Работа J. L. Kelly Jr. «A New Interpretation of Information Rate» опубликована в июльском Bell System Technical Journal 1956 года и связывает повторные ставки, информацию и логарифмический рост капитала. Обозначения p, b и f ниже относятся к нашей двухисходной учебной модели, а не являются торговыми параметрами, известными без ошибки.

Доля капитала f выигрывает чистую выплату b ставок с вероятностью p либо теряет одну ставку с вероятностью 1 − p. При b > 0 и допустимых положительных множителях максимизируется g(f) = p ln(1 + bf) + (1 − p) ln(1 − f). Внутренний оптимум равен f = p − (1 − p)/b. Здесь используется натуральный логарифм. См. математическое ожидание для вероятностного взвешивания логарифмических множителей капитала. Переход от log₂ к ln умножает целевую функцию на положительную константу; оптимальная ставка в той же модели остается прежней. Если разрешены только ставка или воздержание, отрицательный выход формулы означает отсутствие положительной ставки, а не указание открыть обратную рыночную позицию.

Цель и расчет на заданных числах

Максимизируется логарифмический рост, а не доля выигрышей, арифметическое ожидаемое конечное богатство или минимальная просадка. Оптимум может давать тяжелые просадки. Другие хвосты потерь, затраты и ошибка оценки не покрываются гарантией из этой модели.

В идеальном варианте p = 0.55, выигрыш +1.5 ставки и потеря −1 ставка. f = (0.55 × 1.5 − 0.45)/1.5 = 0.25. Для 40000 EUR модельного капитала это ставка 10000 EUR. Это не рекомендация объема Forex-позиции: отношение средних выигрышей и потерь не делает реальные исходы двухисходными, а обычный стоп не обязан обеспечить ровно заданную потерю. Большая доля показывает важность проверки модели и ошибки параметров.

Теперь g(f) = 0.50 ln(1 + 1.40f) + 0.50 ln(1 − 1.10f), где 0 ≤ f < 1/1.10. Из g′(f) = 0 получается f = (0.50 × 1.40 − 0.50 × 1.10)/(1.40 × 1.10) = 15/154 ≈ 0.0974. Потеря отрицательной ветви этой модели равна 1.10f = 3/28 ≈ 10.71% капитала. Без затрат при p = 0.50 оптимум был бы 1/6. Формула с потерей ровно одной ставки уже не описывает новую выплату −1.10; это не просто уменьшенный выигрыш.

Оценка вероятностей и распределение исходов

Рыночные вероятности и чистые выплаты оцениваются, а число сделок не превращает их в точные входы. Влияют выборка, меняющиеся условия и отбор модели. Даже расчеты при подсчете карт зависят от правил и исполнения и не оправдывают утверждения о безошибочных входных параметрах. Уменьшенная ставка также требует проверки возможной потери.

Прокрутите таблицу по горизонтали, чтобы прочитать все столбцы. С клавиатуры перейдите к области клавишей Tab и используйте стрелки влево и вправо.

При b = 1.5 изменение p с 0.55 на 0.50 меняет f с 0.25 на 1/6; p = 0.60 дает 1/3. Это выходы формулы, а не более безопасные либо выдерживаемые рекомендации.

Прокрутите таблицу по горизонтали, чтобы прочитать все столбцы. С клавиатуры перейдите к области клавишей Tab и используйте стрелки влево и вправо.

У B условная средняя потеря равна (0.35/7 + 0.10 × 4)/0.45 = 1. У обеих моделей средняя выплата +0.375 на ставку. Но f = 0.25 обнуляет капитал в ветви B с потерей −4. Ее цель — 0.55 ln(1 + 1.5f) + 0.35 ln(1 − f/7) + 0.10 ln(1 − 4f), при 0 ≤ f < 0.25. Производная равна нулю при f = 0.10, вторая производная отрицательна; у A оптимум 0.25. Два средних значения не заменяют разные распределения. Ни одна доля здесь не рекомендуется для торговли.

В независимой модели с вероятностью выигрыша 55% и точной потерей 25% текущего капитала три последовательные потери оставляют 0.75³ = 42.1875%, просадка 57.8125%. Вероятность трех потерь в одном заранее указанном блоке равна 0.45³ = 9.1125%. Перекрывающиеся блоки не дают независимые сроки ожидания: ожидаемое число испытаний до первой серии из трех потерь равно (1 − 0.45³)/(0.55 × 0.45³) ≈ 18.13, а не обратной вероятности блока около 11. Ничто из этого не гарантирует такую серию в конечной выборке.

Половинная и четвертная доли

Дробный вариант умножает оптимум заданной модели на выбранную долю: для 25% половина равна 12.5%, четверть — 6.25%. Уменьшение ставки обменивает часть модельного роста на меньшую экспозицию, но не обязано делить просадку пополам, отнимать ровно четверть роста или делать реальную потерю переносимой. Проверяйте предпосылки и неопределенность оценок. См. основы управления риском.

Три потери: половина ставки не равна половине просадки

Дополнительная иллюстрация возвращается к модели без затрат с потерей одной ставки: начальный капитал принят за достигнутый пик, других операций нет, происходят ровно три последовательные потери. При полной доле 25% остается 0.75³ = 42.1875% капитала, просадка 57.8125%. При половинной доле 12.5% остается 0.875³ = 66.9921875%, просадка 33.0078125%. Это не половина исходной просадки 28.90625%: разница 4.1015625 процентного пункта. При четвертной доле 6.25% остается 0.9375³ = 82.3974609375%, просадка 17.6025390625%. Уменьшение ставки не масштабирует произведение трех факторов линейно. Все эти значения описывают один заданный путь в математической модели, а не будущую просадку реального счета или рекомендуемую ставку.

Прокрутите таблицу по горизонтали, чтобы прочитать все столбцы. С клавиатуры перейдите к области клавишей Tab и используйте стрелки влево и вправо.

Историческая выборка помогает оценивать параметры и чувствительность, но не выбирает заведомо безопасный множитель. Ни несколько сотен сделок, ни профессиональный статус, ни согласие на просадку 20–30% не подтверждают пригодность дробного Келли. Проверяйте чистые исходы и потери за пределами модели.

Что предполагает фиксированная доля риска

Выбранный начальный плановый лимит 1% не требует оценки p и b только для вычисления размера. Но он зависит от средств счета, стопа, цены контракта, затрат и исполнения; он не создает положительного ожидания и не гарантирует выживания. Лимит 1% или 2% — вход плана при явных предпосылках, а не универсально оптимальное или консервативное число.

Объявление ESMA 2018 года приводило исторические сведения о потерях розничных CFD. Они не изолируют выбор размера как причину и не доказывают систематического превосходства одного правила над другим. Размер может быть больше или меньше конкретного дробного выхода Келли. Профессиональная категория и большой журнал не устраняют ошибки оценки.

Что сделать до применения расчета

1. Определите выборку, чистые исходы и исключения в журнале. Оцените неопределенность и соответствие двухисходной модели. Ни 200 сделок, ни большее число не гарантируют представительности будущего распределения.
2. Вычисляйте двухисходный выход только при соответствующих предпосылках. Дробная величина около 1% не доказывает безопасность; более высокая сама по себе не доказывает завышенную p. Отдельно проверьте исходы, неопределенность и возможные потери.
3. Сравните p = 0.50, 0.55, 0.60 при b = 1.5 и выходы 1/6, 1/4, 1/3. Это проверка чувствительности, а не доказательство единственно разумного другого правила.
4. Дневной или месячный порог проверки задается планом. Он не гарантирует остановку убытка на этой сумме при открытых позициях, разрывах, затратах или худшем исполнении.
5. Запишите, когда и почему пересматривается модель. Сам календарный интервал и накопленный журнал не подтверждают будущие вероятности.

Связанные материалы

• Размер позиции
• Математическое ожидание
• Просадка
• Основы управления риском
• Плановый риск 1% и размер позиции
• Ожидание в словаре
• Контекст ESMA
• Что такое CFD
• Сравнение плановых лимитов 1% и 2%
• Работа Келли 1956 года — на английском
• Максимальная просадка: определение и ограничения